Si $\pi$ es un conjunto de enteros primos, un grupo finito $G$ es un $\pi$-grupo si todos los divisores primos de su orden son elementos de $\pi$. La $\pi$-parte de un entero positivo $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ es el factor $p_{i_1}^{e_{i_1}}\cdots p_{i_r}^{e_{i_r}}$, donde $p_{i_j}\in\pi$. Un $\pi$-subgrupo de Hall de $G$ es un subgrupo cuyo orden es la $\pi$-parte del orden de $G$. En otras palabras, un $\pi$-subgrupo de Hall de un grupo $G$ es un $\pi$-grupo $H$ de $G$ tal que la $\pi$-parte de su índice $[G{\colon}H]$ es $1$. Así, los $\pi$-subgrupos de Hall son generalizaciones de los $p$-subgrupos de Sylow de $G$.
Un teorema de Philip Hall caracteriza los grupos finitos solubles: un grupo finito $G$ es soluble si y sólo si $G$ tiene $\pi$-subgrupos de Hall, para todo conjunto de enteros primos $\pi$. Más aún, en un grupo finito soluble $G$ y para cada conjunto de primos $\pi$, los $\pi$-subgrupos de Hall son conjugados entre sí y todo $\pi$-subgrupo de $G$ está contenido en un $\pi$-subgrupo de Hall de $G$. Dicho de otra manera, para grupos solubles los análogos de los teoremas de Sylow son ciertos, reemplazando primos individuales por conjuntos de primos.
Parte de la belleza del teorema de Hall es el que una propiedad global de un grupo finito $G$, a saber, la existencia de $\pi$-subgrupos de Hall y el hecho de que $G$ actúa transitivamente mediante conjugación en sus $\pi$-subgrupos de Hall, depende de algunas restricciones en los factores de composición de una serie normal de $G$. Vale la pena enfatizar que una de las implicaciones en la demostración del teorema de Hall se puede obtener usando el teorema $p^aq^b$ de Burnside, cuya primera demostración es una de las aplicaciones tempranas de la teoría de caracteres.
Ésta es la forma en que empieza el libro que estamos reseñando. La primera parte, los capítulos que van del uno al cinco, detalla los requisitos sobre grupos $\pi$-separables y algunas de sus propiedades principales incluyendo su relación con el conjunto $\text{Irr}(G)$ de caracteres irreducibles de un grupo soluble $G$ dado. La segunda parte, los capítulos que van del seis al ocho, trata varias correspondencias entre conjuntos de caracteres de grupos relacionados, donde algunas de estas correspondencias todavía son conjeturas. Una de estas conjeturas, de naturaleza local-a-global, debida a John McKay y Jonathan Alperin, afirma que para un grupo finito arbitrario y cualquier primo $p$, si $N$ es el normalizador de un $p$-subgrupo de Sylow de $G$, los conjuntos $\{\chi\in\text{Irr}(G):p\nmid \chi(1)\}$ y $\{\chi\in\text{Irr}(N):p\nmid \chi(1)\}$ tienen la misma cardinalidad. Hasta ahora, esta conjetura no se ha podido probar y en el libro se demuestra la conjetura para grupos $p$-solubles (el teorema 6.11, página 184). Para mayor información sobre esta intrigante conjetura, la monografía reciente Character Theory and the McKay Conjecture (Cambridge University Press, Cambridge, 2018) de Gabriel Navarro es una muy buena referencia. La tercera parte del libro, los capítulos nueve y diez, incluye un estudio de la clase de $M$-grupos (grupos $G$ para los cuales todo carácter irreducible es monomial, es decir, inducido de un carácter lineal de algún subgrupo de $G$), una clase que incluye a los grupos nilpotentes. Aquí se encuentran exposiciones detalladas de algunos resultados importantes de Everett C. Dade, por ejemplo, que todo grupo soluble es un subgrupo de un $M$-grupo, o sus resultados sobre caracteres irreducibles monomiales de grado una potencia de un primo impar. Para probar algunos de estos teoremas, el último capítulo revisa la teoría de módulos simplécticos, es decir, espacios vectoriales simplécticos con una acción del grupo $G$ dado.
Más de un siglo después de su creación, la teoría de caracteres de grupos finitos es todavía un método poderoso para estudiar grupos finitos. En el texto el autor se ha enfocado en la teoría de caracteres de grupos con muchos subgrupos normales, tales como los grupos solubles. El libro reúne muchos resultados que antes se encontraban dispersos en la literatura mediante una presentación que los hace accesibles al lector interesado. Los requisitos incluyen familiaridad con la teoría de caracteres de grupos finitos al nivel de la monografía Character Theory of Finite Groups (American Mathematical Society-Chelsea, Providence, tercera edición, 2008) del mismo autor.
