La funcional de Hilbert-Einstein, definida en el espacio de métricas Riemannianas en una variedad diferenciable, ha jugado un papel fundamental en geometría diferencial y otras áreas de las matemáticas en el último siglo. Su importancia se vuelve evidente al principio del Siglo XX por el rol que juega en el trabajo fundacional de la Relatividad General por Albert Einstein y David Hilbert, aunque en el contexto de geometría Lorentziana. En esta nota repasaremos la historia de la funcional y los conceptos básicos de la Geometría Riemanniana, llevándonos a considerar desarrollos recientes relacionados con la funcional.
El propósito de este artículo es presentar algunos resultados e ideas fundamentales de la geometría diferencial, y otras áreas de las matemáticas, vinculados con la funcional de Hilbert-Einstein. La funcional asigna a una métrica Riemanniana $g$ en una variedad diferenciable compacta $M$, de dimensión $n\geq 3$, el valor $S(g) \in \re$ dado por
\begin{equation}\label{HilbertEinstein} S(g)=\frac{1}{Vol(M,g)^{\frac{n-2}{n}}} \int_M \ s_g \ dvol_g \end{equation}
La funcional es fácil de comprender para quien tiene presentes los conceptos básicos de Geometría Riemanniana: $dvol_g$ es el elemento de volumen de $g$, $Vol(M,g)$ es el volumen de $M$, medido con la métrica $g$ y $s_g$ es la curvatura escalar de $g$. La funcional adquiere importancia a principios del siglo XX, en el contexto de la búsqueda de la formulación correcta de la teoría de la relatividad general por Albert Einstein y David Hilbert. Volveremos a esta historia un poco mas adelante, pero antes repasaremos la historia de los fundamentos de Geometría Riemanniana para quienes no estan familiarizados con los mismos.
La noción de curvatura intrínseca de un espacio aparece por primera vez en el famoso Teorema {\bf Egregium} de Carl Friedrich Gauss en 1825. El contenido del teorema, en el lenguaje de la época, puede parecer en principio algo técnico. Se considera una superficie (regular) {\bf S} contenida en el espacio Euclideano $\re^3$ y se elige un sistema de coordenadas locales $X=(x,y)$ alrededor de un punto $p\in$ {\bf S}. Lo anterior significa que $X$ es un mapa suave definido en un abierto de $\re^2$ y que parametriza un entorno de $p$ en {\bf S}. Los vectores $X_x = \frac{dX}{dx}$ y $X_y = \frac{dX}{dy}$ generan el espacio tangente, en cada punto del sistema de coordenadas. Notar que la distancia entre dos puntos de {\bf S} es el ínfimo de las longitudes de las curvas en {\bf S} que unen los puntos. Como la longitud de una curva se mide usando solamente la norma de los vectores tangentes a la curva, deducimos que la distancia entre dos puntos en {\bf S} depende solo de la restricción del producto escalar de $\re^3$ a los espacios tangentes a {\bf S}. Localmente esta restricción está dada por las funciones $E=\langle X_x , X_x \rangle$, $F=\langle X_x , X_y \rangle$ y $G= \langle X_y , X_y \rangle$.
Si llamamos $k_p$ al producto de las curvaturas principales de la superficie (que dependen de como está encajada {\bf S} en $\re^3$), Gauss prueba que
$$ 4(EG-F^2 ) k_p =E (E_y G_y -2 F_x G_y + G_x^2 )+F((E_x G_y -E_y G_x -2E_y F_y +4 F_x F_y -2 F_x G_x ) $$
$$ +G (E_x G_x -2 E_x F_y +E_y^2 ) -2(EG-F^2 )(E_{yy} -2 E_{xy} +G_{xx} ). $$
De donde deduce que $k_p$ solo depende de la métrica en $S$, es decir que solo depende de la distancia definida en la superficie. Dicho de otra manera $k$ es invariante por isometrías: si $F: S_1 \rightarrow S_2$ es un mapa suave que preserva las distancias entre los puntos entonces $k_{F(p)} =k_p$, para cualquier $p\in S_1$. El resultado sin dudas es sorprendente y destacable. Para el caso de superficies esta curvatura Gaussiana es un invariante que es fácilmente calculable y permite probar que dos superficies no sean localmente isométricas.
Dado un resultado tan llamativo como el teorema de Gauss para el caso de superficies en $\re^3$ es inmediato pensar si existen versiones para espacios mas generales. Una generalización simple al menos desde el punto de vista teórico es pasar de objetos de dimensión 2 como las superficies a espacios de dimensiones mas altas. Simplemente, para cualquier $k \mayorque 2$ se consideran espacios regulares de dimensión $k$ contenidos en $\re^n$, para algún $n \mayorque k$. La definición de estos espacios es formalmente idéntica al caso de superficies en $\re^3$, aunque ya no tengamos la ventaja intuitiva de poder ver estos espacios. Y no es claro como extender la noción de curvatura Gaussiana a estos espacios de mas dimensiones. En 1854, Bernhard Riemann presentó las ideas fundamentales de como definir espacios que no estan apriori contenidos en un espacio Euclideano. Son espacios que localmente se ven como espacios Euclideanos, en los que localmente se pueden definir sistemas de coordenadas. Hoy se conocen como variedades diferenciables. Al mismo tiempo Riemann propone la idea de definir una distancia en estos espacios asignando un producto interno en el espacio de direcciones, lo que hoy llamamos el espacio tangente, en cada punto del espacio. Tal asignación hoy es conocida como una métrica Riemanniana en la variedad diferenciable. Aún mas notablemente Riemann intuyó correctamente como extender la noción de curvatura Gaussiana a estos espacios: dado un punto $p$ y un plano $V$ en el espacio tangente en $p$ propone construir la superficie formada por las curvas que localmente minimizan las distancias que salen de $p$ con direcciones en $V$. Y definir la curvatura en $p$ respecto al plano $V$ como la curvatura Gaussiana en $p$, $k_p$, de esa superficie. Actualmente a ésto se lo llama la curvatura seccional del plano $V$, $K(V)$.
La definición dada por Riemann de curvatura es la correcta, pero no es la mas apropiada para trabajar con ella. En particular es muy difícil calcular la curvatura seccional de un plano usando su definición intuitiva. El trabajo de presentar la definición de curvatura de una manera mas apopiada formalmente fue iniciada por el mismo Riemann. La formalización final fue alcanzada por Elwin Bruno Christoffel en 1869. Christoffel define la curvatura de una variedad Riemanniana como un 4-tensor $R$: $R$ es una asignación en cada punto de una 4-forma multilineal en el espacio tangente en el punto. Dado un plano $V$ se elige una base ortonormal $\{ v_1 , v_2 \}$ de $V$ y la curvatura seccional $K(V)$ definida por Riemann se obtiene como $K(V)=R(v_1 , v_2 , v_1 , v_2 )$. El tensor $R$ tiene ciertas simetrías que implican que la expresión $R(v_1 , v_2 , v_1 , v_2 )$ no dependan de la base ortonormal elegida. El tensor $R$ es un objeto algebraico muy complicado, y no tiene una definición intuitiva. Pero tiene la ventaja que, al ser un objeto algebraico, es muy simple trabajar formalmente con su definición. En particular se ve que se puede contraer dos de las entradas de $R$, tomar traza en dos de los argumentos de $R$, para obtener una 2-formal, bilineal, simétrica en el espacio tangente en cada punto. A este nuevo tensor se lo conoce ahora como el tensor de Ricci de la métrica Riemanniana $g$, $Ricci (g)$. Y a $Ricci(g)$ se lo puede nuevamente contraer para obtener una 0-forma en la variedad, que es simplemente una función definida en la variedad. A esta función se la llama la curvatura escalar de $g$, $s_g$. Y es la que aparece en la fórmula de la funcional de Hilbert-Einstein. Por otro lado es claro que al definir la longitud de vectores tangentes, se tiene una noción de volumen en el espacio. Esto nos permite integrar funciones en la variedad, como el caso particular de la curvatura escalar. Formalmente el elemento de volumen es una $n$-forma en la variedad que se caracteriza por tomar el valor 1 en una base ortonormal (para hacerlo con mas precisión habría que considerar la noción de orientación de variedades, pero no lo haremos aquí).
Con lo anterior se puede entender la funcional de Hilbert-Einstein y es evidentemente una funcional muy natural en el espacio de métricas Riemannianas en una variedad fija. También es claro la funcional era esencialmente conocida y podría haber sido estudiada desde finales del siglo XIX. De hecho la versión para la funcional en dimensión 2 es simplemente la integral de la curvatura Gaussiana. El Teorema de Gauss-Bonnet dice que esta integral no depende de la métrica, de hecho es igual a un múltiplo de la característica de Euler de la superficie (compacta). La primera versión de este teorema fue publicada por Pierre Ossian Bonnet en 1848, pero se cree que el teorema, o alguna versión del mismo, ya era conocido por Gauss.
El Teorema de Gauss-Bonnet tiene muchas implicaciones importantes respecto a la relación entre la topología de una superficie y la curvatura de las métricas en la superficie. Entonces parece natural desde el punto de vista matemático estudiar la funcional de Hilbert-Einstein, en variedades de dimensiones mas altas. Pero el primer impulso fundamental al estudio de la funcional llegó desde la física. En 1915 aparecen por primera vez las ecuaciones de campo de la relatividad general, en trabajos mas o menos simultáneos de A. Einstein y D. Hilbert. Bajo ciertas condiciones y en lenguaje matemático, dicen que el tensor de Ricci de la métrica $g$ es un múltiplo de la métrica:
$$Ricci(g) = \lambda g.$$
Métricas Riemannianas que verifican esta ecuación hoy se llaman métricas de Einstein. Aunque hay que mencionar que al estar interesados en la relatividad general, $g$ en realidad no era una métrica Riemanniana como definimos anteriormente, sino una métrica Lorentziana (que en cada espacio tangente nos dá una forma bilinear simétrica no-degenerada, pero que no es definida positiva sino que tiene signatura $(-+++)$. Y la dimensión es 4, la dimensión del espacio tiempo). En este contexto la funcional de Hilbert-Einstein aparece como la acción que genera la ecuación de Einstein: lo que significa que la ecuación de Einstein es la ecuación de Euler-Lagrange, la ecuación de puntos críticos, de la funcional de Hilbert-Einstein.
El estudio de la funcional de Hilbert-Einstein fue muy importante para físicos y geómetras desde la aparición misma de la funcional, por los motivos antes mencionados. Pero rápidamente ganó interés para otra áreas. Uno de los motivos fundamentales se encuentra en la famosa Conjetura de Poincaré. En 1904, Henri Poincaré conjetura que la hay una única variedad de dimensión 3 que es compacta y simplemente conexa, la esfera de dimensión 3. La conjetura fue muy popular y generó mucha actividad matemática a lo largo de décadas. Es evidentemente un problema del área de la topología, o de la combinatoria, si se consideran triangulaciones de las variedades. Pero no parece en principio estar relacionada con la geometría y mucho menos con la funcional de Hilbert-Einstein. Pero hay dos observaciones elementales geométricas. La primera es que las variedades de curvatura seccional constante son muy rígidas y hay muy pocos ejemplos. De hecho es bastante elemental demostrar que las únicas variedades simplemente conexas que admiten métricas de curvatura seccional constante (completas) son la esfera y $\re^n$. Además se puede ver también de manera bastante elemental que si una métrica en una variedades de dimensión 3 es de Einstein, entonces tiene curvatura secional constante (esto no es cierto en dimensiones mas altas). Entonces elementalmente se ve que se demostraría la conjetura de Poincaré si se pudiese probar que toda variedad de dimensión tres compacta y simplemente conexa admite una métrica de Einstein. Dicho de otra manera, cambiamos el problema a demostrar que la funcional de Hilbert-Einstein en una variedad de dimensión tres compacta y simplemente conexa tiene un punto crítico. Aunque esta observación no parece en principio simplificar el problema, sin duda es una idea muy llamativa para atacarlo desde una perspectiva completamente distinta. De alguna manera la combinatoria parece quedar de lado y replanteamos el problema en términos de encontrar un punto crítico de una función (definida en el espacio de todas las métricas Riemannianas definidas en una variedad fija). El problema así planteado de todos modos es muy difícil. En primer lugar hay que mencionar que la funcional no está acotada inferior ni superiormentee, con lo cual no se puede buscar puntos críticos tratando de buscar el mínimo o el máximo. Además existen ejemplos de variedades que no admiten ninguna métrica de Einstein. Entonces para demostrar la existencia de un punto crítico será necesario usar las hipótesis topológicas.
La idea parece atractiva y sin duda habrá estado en la mente de muchos geómetras por décadas. Pero se necesita una estrategia para probar la existencia de los puntos críticos. El primer intento que apareció publicado en esa dirección es un artículo de Hidehiko Yamabe en 1960 [Yam60], aunque en el artículo no se hace mención de métricas de Einstein. Para entender el comportamiento de una función alrededor de un punto crítico hay que considerar las segundas derivadas de la función, el Hessiano. Para hacer esta consideración respecto a la funcional de Hilbert-Einstein debemos primero mencionar algunas cosas sobre métricas conformes. Dada una métrica Riemanniana $g$ en una variedad diferenciable $M$ y una función positiva $f:M \rightarrow \re_{ \mayorque 0}$ se tiene otra métrica Riemanniana, $f.g$. Las dos métricas $g$ y $f.g$ se dicen conformes porque definen la misma noción de ángulo entre vectores tangentes. Entonces se puede considerar la familia $[g]$ de métricas conformes a $g$, que se llama la clase conforme de $g$. En el caso de la funcional de Hilbert-Einstein un estudio de su Hessiano en sus puntos críticos muestras que la métrica de Einstein minimiza la funcional en la direción de la clase conforme de $g$, y la tiende a maximizar en la dirección complementaria a la clase conforme. Entonces la idea de H. Yamabe fue (se cree) minimizar la funcional sobre cada clase conforme y después tomar el supremo de este ínfimo sobre el espacio de las clases conformes. Si todo funcionase bien, al final conseguiríamos una métrica de Einstein. En el artículo, Yamabe encara la primer parte de este problema: considera la funcional de Hilbert-Einstein e intenta mininmizarla sobre una clase conforme fija. De hecho Yamabe da una prueba de este hecho, pero la prueba tenía un problema que fue solucionado a través del trabajo de varios otros investigadores. Yamabe no menciona e el artículo el segundo paso de maximizar (el ínfimo) sobre la familia de clases conformes (con las hipótesis necesarias), pero se cree que esa era su idea. Volveremos a estas ideas en la siguiente sección.
El procedimiento exitoso para probar la conjetura de Poincaré usando estas ideas resultó ser el de considerar un flujo en el espacio de métricas Riemannianas en una variedad diferenciable. Este flujo se llama el flujo de Ricci y fue introducido por Richard Hamilton en 1981 [Ham82]. Asemeja al flujo gradiente de la funcional de Hilbert-Eintein, aunque no coincide exactamente. Se obtiene (en la versión con volumen normalizado) resolviendo la ecuación
\begin{equation} \frac{d}{dt} g(t) = - 2Ricci (g(t)) + (2/n) r_{g(t)} \ g(t). \end{equation}
donde $r_{g(t)}$ es el promedio de la curvatura escalar. Se busca una curva $t \mapsto g(t)$ en el espacio de métricas Riemannianas que satisfaga la ecuación. Los puntos fijos del flujo son precisamente las métricas de Einstein. Intuitivamente se espera que siguiendo el flujo la métrica tienda a simetrizarse y eventualmente convergiría a una métrica de Einstein. En 2003, Grigori Perelman [Perc; ; ] prueba que comenzando en cualquier métrica en una 3-variedad compacta simplemente conexa el flujo, después de eliminar ciertas singularidades que pueden producirse, converge a una métrica de Einstein. Resuelve así la Conjetura de Poincaré. De hecho demuestra la Conjetura de Geometrización de Thurston que esencialmente dice que toda 3-variedad cerrada se puede dividir en regiones con métricas Riemannianas canónicas.
Volveremos ahora a las ideas de H. Yamabe mencionadas en la sección anterior. Por conveniencia dada una métrica Riemanniana $g$ escribimos una métrica conforme a $g$ como $h= f^{\frac{4}{n-2}} \ g$, donde $n$ es la dimensión y estamos asumiendo que $n \mayorque 2$. La funcional de Hilbert Einstein evaluada en $h$ se puede expresar en términos de $f$ y de $g$. Si se considera $g$ fija entonces se obtiene
\begin{equation} S(h) = Y_g (f) = \frac{\int_M \frac{4(n-1)}{n-2} \| \nabla f \|^2 + s_g f^2 dvol_g }{\left( \int_M f^{\frac{2n}{n-2}} dvol_g \right)^{\frac{n-2}{n}} }. \end{equation}
Se puede verificar que la Ecuación de Euler Lagrange de $Y_g$, es
\begin{equation}\label{Yamabe} -\frac{4(n-1)}{n-2} \Delta_g f +s_g f = \lambda f^{\frac{n+2}{n-2}}. \end{equation}
donde $\lambda \in \re$ y $\Delta_g$ es un operador de Laplace asociado a la métrica $g$. Pero se puede calcular elementalmente que la curvatura escalar de la métrica conforme $ h= f^{\frac{4}{n-2}} \ g$ está dada por $s_{ h} = f^{-\frac{n+2}{n-2}} (-\frac{4(n-1)}{n-2} \Delta_g f +s_g f )$. Entonces si $f$ satisface la ecuación ( 4) se tiene que $s_{ h} =\lambda$ es constante. Es decir que los puntos críticos de la funcional de Hilbert-Einstein restringida a una clase conforme son precisamente las métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme. Por otro lado con un cálculo elemental se obtiene que
$$Y_g (f) \geq \min \{ 0, \min_M s_g \ Vol(M,g)^{2/n} \} . $$
En particular $Y_g$ está acotada inferiormente y definimos la Constante de Yamabe de $[g]$, $Y(M,[g])$, como el ínfimo de $Y_g$, que es igual al ínfimo de la funcional de Hilbert-Einstein restringida a $[g]$. En su artículo Yamabe intenta demostrar que lo que ahora se llama la Constante de Yamabe se realiza (para cualquier clase conforme). Aunque su demostración contenía muchas ideas importantes tenía un error. Este error fue corregido por varios matemáticos, Neil Trudinger, Thierry Aubin y Richard Schoen a lo largo de dos décadas. El siguiente paso es maximizar las constantes de Yamabe, sobre el espacio de todas las clases conformes de métricas en una variedad $M$. Lo primero que hay que mencionar es que las contantes de Yamabe están acotadas superiormente por una constante $Y_n$, que solo depende de la dimensión de la variedad. De hecho la constante $Y_n$ es la constante de Yamabe de la clase conforme de la métrica de curvatura constante en la esfera de la dimensión correspondiente. El hecho qe hace que la esfera sea especial en este sentido es que admite una gran familia de transformaciones conformes (difeomorfismos que preservan el ángulo, que se traduce en que el pullback de la métrica pertenece a la clase conforme de la métrica). Las homotecias en $\re^n$ se extiende a la esfera $S^n = \re^n \cup \infty$ como transformaciones conformes. Cuando consideramos multiplicación por $\lambda \rightarrow \infty$ la función en la esfera que dá el factor conforme correspondiente tiende a concentrarse en un punto, el polo sur. Luego se puede modificar la función de modo tal que tenga soporte contenido en un entorno chico alrededor de un punto. Y esta función trasladarla a un entorno chico de un punto en cualquier variedad Riemanniana $(M,g)$. La funcional de Yamabe en esta función será muy cercana a la constante de Yamabe de la esfera, probando la desigualdad $Y(M,[g]) \leq Y_n$.
Entonces si llamamos ${\mathfrak{C}}$ al conjunto de clases conformes de métricas Riemannianas en $M$ definimos el invariante de Yamabe de $M$ como
$$Y(M)= \sup_{[g] \in {\mathfrak{C}} } Y(M,[g]) .$$
Yamabe de hecho no definió este invariante, aunque lo pudo haber considerado. El invariante aparece por primera vez en trabajos de Richard Schoen [Sch89]y de Osamu Kobayashi [Kob87]. Mas allá de su definición como una estrategia minmax para encontrar métricas de Einstein, es un importante invariante geométrico de la estructura diferenciable de variedades. Mencionaremos ahora algunos resultados conocidos sobre el invariante. Lo primero que se puede mencionar es que el invariante es estrictamente positivo si y solo si existe una clase conforme $[g]$ en $M$ tal que $Y(M,[g]) \mayorque 0$; y es sencillo de ver que $Y(M,[g]) \mayorque 0$ si y solo si existe una métrica $h \in [g]$ tal que la curvatura escalar de $h$ sea estrictamente positiva. Entonces $Y(M) \mayorque 0$ si y solo si $M$ admite una métrica de curvatura escalar positiva. El problema de existencia de métricas de curvatura escalar positiva en una variedad cerrada fija $M$ ha sido muy estudiado. El primer resultado importante fue obtenido por André Lichnerowicz en 1963: una variedad spin de género distinto de 0 no admite una métrica de curvatura escalar positiva. En dimensión 4 importantes restricciones a la existencia de métricas de curvatura escalar positiva se obtienen mediante la teoría de Seiberg-Witten. Para dimensiones mas altas, $n\geq 5$, se tiene el resultado fundamental, obenido de manera independiente y por distintos métodos, por un lado por Mikhael Gromov y Blaine Lawson, y por otro lado por Richard Schoen y Shing-Tung Yau, que si una variedad $M$ admite una métrica de curvatura escalar positiva y $N$ se obtiene haciendo cirugía en una esfera de dimensión $\leq n-3$ entonces $N$ también admite una métrica de curvatura escalar positiva. Cirugía es un procedimiento topológico fundamental. Dos variedades son cobordantes si y solo si se obtiene una de la otra mediante cirugías. El resultado anterior permite el estudio de las variedades que admiten métricas de curvatura escalar positiva usando técnicas de cobordismo. Con estos técnicas Stephan Stolz obtuvo la clasificación de variedades simplemente conexas de dimensión al menos 5 que admiten métricas de curvatura escalar positiva.
Los cálculos conocidos del invariante de Yamabe son en buena medida paralelos al estudio de la existencia de métricas de curvatura escalar positiva. Lo primero que hay que mencionar es que se deduce de los comentarios anteriores que el invarinte de Yamabe de la esfera de dimensión $n$ es $Y_n$. En dimensión 3 el estudio de G. Perelman del flujo de Ricci permite también calcular el invariante de toda 3-variedad que no admite una métrica de curvatura escalar positiva (es decir que $Y(M)\leq 0$). Para las 3-variedades de invariante positivo, además del caso de la esfera, Hubert Bray y André Neves demostraron que el invariante del espacio proyectivo $\re P^3 = \Sp^3 /{\bf Z}_2$ se realiza por la métrica de curvatura constante [BN04]. Esto se generaliza al caso de sumas conexas del espacio proyectivo con cualquier número de copias de $S^2 \times S^1$ [AN07]. Pero por ejemplo no se conoce el valor del invariante en otros cocientes de la esfera (aunque se conjetura que también se realizan por las métricas de curvatura constante). En dimensión 4 usando los invariantes de Seiberg-Witten se obtuvieron cálculos del invariante. Por ejemplo el invariante del espacio proyectivo complejo es realizado por la métrica de Fubini-Study y el invariante de las superficies compactas complejas de tipo general es realizado por la métrica de K\"{a}hler-Einstein de su modelo mínimo [LeB99]. Si la dimensión es mayor, $n\geq 5$, para el estudio del invariante es fundamental entender su comportamiento bajo cirugías. Se demostró [Pet99] que si $Y(M)\leq 0$ y $N$ se obtiene de $M$ realizando cirugías en dimensión $\leq n-3$ entonces $Y(N) \geq Y(M)$. Este resultado permite por ejemplo demostrar que si $M$ es una variedad simplemente conexa de dimensión al menos 5 y que no admite una métrica de curvatura escalar positiva, entonces $Y(M)=0$ [Pet00]. En el caso en que $Y(M) \mayorque 0$ no se sabe si es cierto que $Y(N) \geq Y(M)$, pero al menos se tiene una cota inferior (positiva) para $Y(N)$ [ADH13]. Hay algunos otros resultados en cuanto a cálculos del invariante pero muchas preguntas siguen sin respuestas. Por ejemplo aún no se sabe en general si métricas de curvatura seccional constante, por ejemplo métricas hiperbólicas, realizan el invariante.
