Artículos de divulgación

Plimpton 322, como excusa



Felipe Zaldívar
$\newcommand{\menorque}{<}$ $\newcommand{\mayorque}{>}$

Plimpton 322 es una tableta de arcilla, de casi 4000 años de antigüedad, encontrada en el sitio correspondiente a la antigua ciudad de Larsa en Mesopotamia (donde ahora está la ciudad de Tell as-Senkereh, al sur del Irak actual, que entonces era parte del Imperio Otomano) que fue excavada ilegalmente hacia 1920. Esta tableta, junto con muchas otras, fue traficada por el diplomático estadounidense E. J. Banks para revenderla al comprador estadounidense G. A. Plimpton, que a su vez la donó a la Universidad de Columbia en Nueva York, como parte de una colección de tabletas de arcilla con textos cuneiformes de la antigua Mesopotamia, extraidas de Irak violando varias leyes de protección de antigüedades del Imperio Otomano. Para poner en contexto el saqueo europeo y estadounidense de artefactos arqueológicos, basta mencionar en el contexto de Plimpton 322, que mucho de lo saqueado en Larsa se encuentra en el Museo Ashmolean de Oxford, en la Colección Babilónica de Yale o en el Louvre. Plimpton 322 es el número 322 de la colección de tabletas cuneiformes en la biblioteca Butler de la Universidad de Columbia.

El interés matemático de Plimpton 322 es la interpretación de Otto Neugebauer [NS45, Neu69], de los números listados en esta tableta como ternas pitagóricas, es decir, soluciones enteras no triviales de la ecuación pitagórica $x^2+y^2=z^2$ descubiertas miles de años antes que los griegos demostraran el teorema pitagórico. ¿Quién fue el escriba?, ¿Un colega nuestro?, ¿Cuál era su motivación para listar tantas ternas pitagóricas? Las preguntas anteriores no son ociosas, por ejemplo, si a uno le preguntan por algunas ternas pitagóricas, lo mas probable es que nuestra lista comience con $(3,4,5)$ o tal vez $(5,12,13)$ y algunas otras si se piensa un rato. Plimpton 322 comienza con la terna $(119,120, 169)$ y contiene la terna $(12\, 709, 13\, 500, 18\, 541)$.

Plimpton 322: Fotografía(1) de Christine Proust en [BPS11, pág. 564]

Plimpton 322 tiene en uno de sus lados una tabla con 4 columnas cuyo primer renglón son textos (en sumerio y acadio(2)) que encabezan cada columna de números. Los 15 renglones siguientes contienen números, en sexagesimal(3) por supuesto. La columna(4) IV del extremo derecho simplemente numera los renglones del 1 al 15, con una interpolación obvia donde la tableta está dañada (el encabezado dice: su nombre). La columna III, tiene como encabezado: el cuadrado(5) de la diagonal del rectángulo asociado (hipotenusa del triángulo rectángulo(6) correspondiente). La columna II, tiene como encabezado: el cuadrado del lado corto, es decir, de uno de los catetos de los triángulos. La columna I, tiene un problema de interpretación, ya que la tableta tiene una fractura en su lado izquierdo. Para interpretar los signos de esta columna, abusando de la historia y siguiendo a Neugebauer, se denota por $d$ la hipotenusa de la tercera columna y por $b$ uno de los catetos (el lado corto, como pone el escriba, o base como anacrónicamente interpretamos) y sea $\ell$ el otro cateto (el lado largo o altura, pero esto no está en la tableta). Entonces, la columna I lista los números $d^2/\ell^2$ o, en otra interpretación, $b^2/\ell^2$. Esta ambigüedad se debe al daño físico de la tableta, ya que pequeñas ranuras en el lugar de intersección de las reglas horizontales de la tableta y la recta vertical que demarca la primera columna(7) se confunden con trazos cuneiformes. Si los primeros trazos son verdaderos signos cuneiformes, estos corresponden al $1$ y se tiene la primera interpretación $d^2/\ell^2$, con el $1$ como pusimos en la transliteración. Si los primeros trazos son intersecciones de las reglas horizontales y la recta vertical de la primera columna, se tiene la segunda interpretación $b^2/\ell^2$ y el primer numeral $1$ se elimina. Transliterada(8) en sexagesimal, salvo la ambigüedad del $1$ que encabeza cada número de la primera columna, Plimpton 322 es:

I: Texto dañado II: lado corto III: diagonal IV: Número
$d^2/\ell^2 \quad \text{ o }\quad b^2/\ell^2$ $b$ $d$ de renglón
1 59 00 15 1 59 2 49 1
1 56 56 58 14 50 06 15 56 07 1 20 25 2
1 55 07 41 15 33 45 1 16 41 1 50 49 3
1 53 10 29 32 52 16 3 31 49 5 09 01 4
1 48 54 01 40 1 05 1 37 5
1 47 06 41 40 5 19 8 01 6
1 43 11 56 28 26 40 38 11 59 01 7
1 41 33 45 14 3 45 13 19 20 49 8
1 38 33 36 36 8 01 12 49 9
1 35 10 02 28 27 24 26 40 1 22 41 2 16 01 10
1 33 45 45 1 15 11
1 29 21 54 2 15 27 59 48 49 12
1 27 00 03 45 2 41 4 49 13
1 25 48 51 35 6 40 29 31 53 59 14
1 23 13 46 40 28 53 15
Versión sexagesimal(9) corregida de los números en Plimpton 322

Los errores conocidos en la tableta son siete, cuatro de ellos tal vez errores de copia (marcados en azul en la tabla anterior), pero tres de ellos son computacionales (marcados en rojo en la tabla anterior) e influyen en cómo interpretar los números. En sexagesimal los errores son:

  1. Errores de copia
    • Columna I, renglón 2, en la tableta un grupo de símbolos aparenta tener dos espacios vacíos entre ellos: $5\;\; 6$, que en notación posicional corresponde a 50 06. Sin embargo los cálculos que mencionamos, por ejemplo, $d^2/\ell^2$, sugieren que es un error de espaciamiento por lo que $5\;\; 6$ debe ser 56 .
    • Columna I, renglón 8, la tableta dice 41 33 59 03 45. Debe decir 41 33 45 14 03 45. Un error aritmético: dos lugares se añadieron.
    • Columna II, renglón 9, la tableta aparenta decir 8 01. Debe decir 9 01. El 8 se parece mucho al 9 en cuneiforme: 𒑄 𒑆
    • Columna I, renglón 13, la tableta aparenta decir 27 03 45. Debe decir, 27 00 03 45: faltaba añadir un espacio de separación.
  2. Errores de cómputo
    • Columna III, renglón 2, la tableta dice 3 12 01 . Debe decir 1 20 25 . Cuadrado del valor correcto.
    • Columna II, renglón 13, la tableta dice 7 12 01 . Debe decir 2 41 . El doble del cálculo correcto.
    • Columna II, renglón 15, la tableta dice 56 . Debe decir 28 . El doble del cálculo correcto. Puede también corregirse la columna III renglón 15, cambiando 53 por 1 46.

La interpretación de Neugebauer [NS45, Chapter iii §2] toma como sugerencia los encabezados de las columnas III (diagonal o hipotenusa $d$) y II (lado corto o cateto $b$) y calcula la diferencia $d^2-b^2$ observando que, salvo los siete errores mencionados, esta diferencia es un cuadrado perfecto $\ell^2$. ¡Esto no puede ser una coincidencia! Más aún, jugando con estos números, los cocientes $d^2/\ell^2$ son las entradas de la primera columna. Neugebauer leía la primera columna de acuerdo a la primera interpretación arriba mencionada(10). Traducida del sexagesimal corregido al decimal y añadiendo una columna extra para el cateto largo, Plimpton 322 contiene implícitamente quince ternas pitagóricas $(d,\ell,b)$ en algún orden no obvio (sólo la columna I está en orden descendente, lo cual se usa en un argumento acerca de cómo se generó la tabla):

$d^2/\ell^2$ o $b^2/\ell^2$ $b$ $d$ $\ell$ Renglón
1.9834028 o 0.9834028 119 169 120 1
1.9491586 o 0.9491586 3 367 4 825 3 456 2
1.9188021 o 0.9188021 4 601 6 649 4 800 3
1.8862479 o 0.8862479 12 709 18 541 13 500 4
1.8150077 o 0.8150077 65 97 72 5
1.7851929 o 0.7851929 319 481 360 6
1. 7199837 o 0.7199837 2 291 3 541 2 700 7
1.6845877 o 0.6845877 799 1 249 960 8
1.6426694 o 0.6426694 481 769 600 9
1.5861226 o 0.5861226 4 961 8 161 6 480 10
1.5625 o 0.5625 45 75 60 11
1.4894168 o 0.4894168 1 679 2 929 2 400 12
1.4500174 o 0.4500174 161 289 240 13
1.4302388 o 0.4302388 1 771 3 229 2 700 14
1.3871605 o 0.3871605 28 53 45 15
Traducción decimal de los números en Plimpton 322

Varias preguntas naturales se pueden hacer sobre esta tabla, y consideremos sólo dos para limitar la curiosidad (y por lo mismo, sólo consideraremos dos posibles respuestas, dejando la interpretación trigonométrica a un lado). Primero, ¿cuál era su función? Aquí, las respuestas todavía son conjeturales, desde el extremo puro (geometría y aritmética antes de Euclides) hasta el extremo utilitario (tablas de funciones trigonométricas avant la lettre) y tal vez conviene dejar esta pregunta hasta que los arqueólogos y asiriólogos tengan más información. La segunda pregunta, más matemáticamente interesante, es ¿cómo se generó esta tabla? Neugebauer en [NS45, págs. 40–41] y [Neu69, págs. 36–40] argumenta que la tabla se generó por medio de dos parámetros enteros $p \mayorque q \mayorque 0$ coprimos y de paridad distinta. Entonces, las ecuaciones \begin{align*} b&=p^2-q^2\\ \ell&=2pq\\ d&=p^2+q^2 \end{align*} dan todas las ternas sin repetición. Esta argumentación tiene varias lagunas (no matemáticas, sino historiográficas). Primero, cómo se escogen los parámetros $p,q$. Segundo, la forma en que están listadas las ternas en Plimpton 322 no permite que los parámetros lleven un orden natural y es conocido, por otras tabletas de la misma época, que a los escribas les gustaba usar un orden descendente en sus tabulaciones.

En la aritmética mesopotámica, la división se define como multiplicación por el inverso del divisor(11) y distinguían entre las fracciones que terminan, es decir, aquellas con denominador divisible únicamente por los divisores primos de 60, de las que no terminan. Para facilitar sus operaciones aritméticas, tenían tablas de multiplicar de sus 59 dígitos (de hecho, 58, obviando la de multiplicar por la unidad), semejantes a las de nuestra infancia y su algoritmo para multiplicar enteros en sexagesimal es el mismo que el nuestro. Para multiplicar por fracciones tenían tablas de recíprocos que podían usar en su método de multiplicar sin cambios. Neugebauer [Neu69, Págs. 21–22] da el ejemplo siguiente: para multiplicar $12\times 12$ sólo usa la tabla de multiplicación del 12 donde encuentra $12\times 12$ = 2 24 (en sexagesimal, por supuesto). Ahora, si quiere multiplicar $12\times (1/5)$, donde en sexagesimal 1/5 = 12/60 = 0;12 (en la notación de Neugebauer el punto y coma separa la parte fraccionaria y hemos añadido un $0$ anacrónico donde el escriba no pone nada), calcula el producto $12\times (1/5)= 12\times (12/60)$ = 12 $\times$ 0;12 = $12 \times 12$, usa la tabla del 12 como antes y luego recorre el signo que separa la parte fraccional (nuestro punto decimal) para obtener 2;24 (en sexagesimal). El uso de estas tablas de multiplicar y de tablas de recíprocos de números estaba generalizado en las escuelas de escribas de esta época, y se han encontrado miles de tablas donde los alumnos practicaban sus multiplicaciones y, tal vez, memorizaban sus tablas. Entre estas tablas, hay varias que listan números y sus recíprocos(12) y hay tablas donde los alumnos calculaban recíprocos, especialmente, de las fracciones que terminan. Con esta evidencia adicional, Bruins [Bru49] y posteriormente Friberg [Fri81, Fri07] y otros, argumentan que las entradas en Plimpton 322 se obtienen a partir de parámetros $t \mayorque 0$ y sus inversos $1/t$ y que varían en un conjunto adecuado de quince números racionales, por medio de las igualdades

\begin{align*} \frac{b}{\ell}&=\frac{1}{2}\Big(t-1/t\Big)\\ &\\ \frac{d}{\ell}&=\frac{1}{2}\Big(t+1/t\Big). \end{align*} Una forma sistemática y sin prejuicios para buscar los valores del parámetro $t=s/r$, asumiendo que $s$ y $r$ son enteros coprimos tales que las fracciones $1/t \mayorque t \mayorque 0$ terminan en sexagesimal (es decir, sus denominadores son de la forma $2^i3^j5^k$, producto de los divisores primos de 60) fue argumentada inicialmente por Neugebauer y Sachs en [NS45] y precisada por otros después, para acotar $t=s/r$ en el intervalo $\sqrt{2}-1 \menorque t\leq 5/9$ con $1\leq s \menorque 60$. Friberg [Fri81, Figura 2.1, pág. 286] grafica estos valores y localiza los pares que corresponden a Plimpton 322. Una consecuencia adicional de este argumento es la existencia de 23 parámetros complementarios que darían igual número de ternas pitagóricas además de las 15 de Plimpton 322. Robson [Rob02, Págs. 113 – 116] añade a lo anterior un argumento paleolingüístico, a saber, su reconstrucción del encabezado de la primer columna en Plimpton 322.

Si la lectora o lector sienten tentada su curiosidad, Otto Neugebauer [NS45, Neu69] es el inicio de esta aventura, Jöran Friberg [Fri81] es una lectura mas sobria y Eleanor Robson [Rob01, Rob02] una mas reciente.

Notas

(1)
Fotografía de C. Proust, cortesía de los Archivos de la Universidad, Biblioteca de Manuscritos y Libros Raros, Bibliotecas de la Universidad de Columbia.

(2)
En la fecha en que fue escrita esta tableta, que los arqueólogos sitúan hacia el año 1800 antes de nuestra era, aproximadamente un par de décadas antes de la conquista de Larsa por Babilonia, el acadio era el lenguaje predominante y el sumerio era ya sólo un remanente del lenguaje del pueblo antecesor de esta cultura, cuyo uso se restringía a ciertas clases sociales, entre ellas la de los escribas.

(3)
Los números son fáciles de leer, aún no estando familiarizados con la escritura cuneiforme: los primeros nueve dígitos son 𒁹 $𒁹\!𒁹$ 𒐈 𒐿 𒐊 𒐋 𒑂 𒑄 𒑆, el número 10 es 𒌋 y los múltiplos de 10 se forman juntando o apilando este símbolo, por ejemplo, el número 50 es 𒑪. Del 11 hasta el 59 los números se forman con los símbolos de los múltiplos de 10 junto con los primeros 9 dígitos, por ejemplo, el número 11 es $𒌋\!𒁹$ y el número 59 es $𒑪\!𒑆$. En Friberg [Fri81, Pág. 281] y en Neugebauer [Neu69, Pág. 1] se tiene una transcripcción manuscrita de estos números en cuneiforme, con algunas variantes. Estas variantes, consisten de varias abreviaciones o convenciones sobre cómo juntar o apilar los símbolos básicos.

(4)
Parece que son dos columnas, pero es una, el primer símbolo es la palabra sumeria ki 𒆠 cuyo significado es lugar y después de un espacio está el numeral correspondiente.

(5)
La traducción cuadrado necesita una explicación: los asiriólogos argumentan que en acadio la palabra cuadrado literalmente significa cosa que es igual y opuesta a sí misma. En acadio, cuadrado puede significar también el lado del cuadrado. En el contexto de la tabla, es este último el significado adecuado.

(6)
En sentido riguroso, no se habla de triángulos ni de rectángulos, en sumerio no se tiene el concepto de ángulo. Estas nociones son posteriores.

(7)
A los escribas mesopotámicos les gustaban las tabletas regladas para escribir y usaban rectas verticales para separar columnas, justificando el texto a la izquierda.

(8)
En sumerio hay 59 dígitos y en la transliteración se ponen en bloques de a lo más dos. La transcripción que usamos es algo diferente de la usada por Neugebauer, usando espacios (como el original sumerio o acadio) para separar bloques, en lugar de comas. Por ejemplo, cuando Neugebauer escribe 1,10 la transcripción que usamos es 1 10. Convertido en decimal es $1\times 60 + 10=70$. La ausencia inicial del dígito 0 (para el cual se usa, a veces, un espacio) en el sistema de numeración sumerio puede causar ambigüedades en la lectura. Por ejemplo, se puede tener la secuencia 5 6 donde el espacio entre 5 y 6 no sea claro, lo cual lleva a dos interpretaciones: si son dos dígitos es 5 6 = $5\times 60+6=306$ y si es un único dígito es 56. Más aún, la notación no distingue entre la parte entera y la fraccional de un número, y su valor tiene que determinarse por el contexto. Note además que en la transliteración que usamos hay ceros anacrónicos en algunos de los pares, para evitar lecturas ambiguas.

(9)
Tomada de [NS45, pág. 38], [Fri81, pág. 281], [Rob01, pág. 107].

Para hacer las cosas más interesantes, todas las ternas pitagóricas $(d,\ell,b)$ de Primpton 322 con la excepción de la del renglón 11, son primitivas, es decir, no tienen factores comunes no triviales.

Tan cercanos a nosotros estos remotos colegas.

Por ejemplo, como escribe Robson en [Rob02, Págs. 113–114] la tableta con número de clasificación MLC 1670 en la Biblioteca J. Pierpont Morgan, en Nueva York, lista pares recíprocos del 2 al 81 cuyas fracciones terminan.

[Fri07][Høy99]

Referencias

BPS11
J. P. Britton, C. Proust y S. Shnider Plimpton 322: a review and a different perspective Arch. Hist. Exact Sci. 65 (2011), 519-566.
Bru49
M. Bruins On Plimpton 322, Pythagorean numbers in Babylonian mathematics Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings 52 (1949), 629-632.
Fri81
J. Friberg Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean triples and the Babylonian triangle parameter equations Historia Mathematica 8 (1981), 277-318.
Fri07
J. Friberg Appendix 8. Plimpton 322, a Table of Parameters for igi-igi.bi Problems. En: J. Friberg. A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts Springer-Verlag, New York 2007, 433-451.
Høy99
J. Høyrup Pythagorean “Rule” and “Theorem” -- Mirror of the relation between Babylonian and Greek mathematics. En: Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne 1999, 393-407.
NS45
O. Neugebauer y A. Sachs Mathematical Cuneiform Texts American Oriental Society, New Haven 1945.
Neu69
O. Neugebauer The Exact Sciences in Antiquity Princeton University Press 1952. Reimpreso por Dover, New York 1969.
Rob01
E. Robson Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322 Historia Mathematica 28 (2001), 167-206.
Rob02
E. Robson Words and Pictures: New Light on Plimpton 322 The American Mathematical Monthly 109 2 (2002), 105-120.
Felipe Zaldívar
Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa
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