La fibración de Hopf (clásica) es una aplicación de la esfera $S^3$ en la esfera $S^2$, que permite construir $S^3$ a través de círculos parametrizados por puntos de $S^2$. A lo largo de la historia, la existencia de este tipo de fibraciones está íntimamente ligada con varios problemas en la matemática. Este trabajo expositorio trata sobre algunos de ellos: la clasificación de álgebras reales, el problema del invariante de Hopf, paralelizabilidad de esferas y la existencia de $H$-estructuras en esferas. Daremos un paseo a través de cada uno, revisando cada respuesta y solución.
Alcanzado cierto desarrollo, aun sin el rigor matemático, todos tenemos la intuición de lo que es la esfera $2$-dimensional (encajada en $\mathbb{R}^3$) y podemos convencernos de que es un objeto de belleza matemática privilegiada. Desde un punto de vista topológico puede describirse como un espacio compacto y sin frontera que es simplemente conexo, esto es, que todo lazo sobre él puede contraerse a un punto. Geométricamente puede entenderse como una variedad simplemente conexa de curvatura (seccional) constante positiva.
La esfera $2$-dimensional ha maravillado al mundo desde la Antigüedad, erigiéndose como el ícono geométrico de la perfección. Platón (ca. 427-347 a. C.), uno de los grandes filósofos griegos, describió la esfera como un objeto de tal estética, y que aquél que hubiera sido el creador, por ello, la eligió como la forma del mundo. En su famoso texto conocido como Diálogos, particularmente en Timeo, escribe a manera de epopeya de la creación:
“Así, pues, [el que creó] dio al mundo la forma de esfera, y puso por todas partes los extremos a igual distancia del centro, prefiriendo así la más perfecta de las figuras y la más semejante a ella misma; porque pensaba que lo semejante es infinitamente más bello que lo desemejante. Y alisó con cuidado la superficie de este globo por varios motivos”.
Alejémonos de la profana idea de que el creador fuera un arquitecto, o incluso un ingeniero; Platón fue bien claro, aquella armoniosa mente creadora no podía ser más que la de un matemático. Platón fue un visionario que ya comprendía muy bien la noción de alta simetría (homogeneidad), colocando a la esfera en la cumbre de lo que es semejante a sí mismo, y que el poseer esa propiedad debía ser muy apreciado, pues era la única entre sus iguales. Aún hay más, Platón ya advertía que el creador debía ser un geómetra diferencial, y la diferenciabilidad de las cosas lo pondría como un creador suave, bien chévere. Sin embargo, lo que no esperaba era que este geómetra diferencial, para comprender su creación, tendría que recurrir a los esotéricos caminos de la topología algebraica.
Este texto es un artículo divulgativo que pretende conducir al lector a través de diferentes perspectivas que tiene la esfera. Se trata de una conjunción entre álgebra, geometría, topología y sus subramas. La esfera tendrá una representación distinguida, aunque con limitaciones, a través de las fibraciones de Hopf. Ningún resultado es del autor, pero se buscó dar una exposición original.
Para hablar sobre la esfera desde un punto de vista más general partiremos de la descripción platónica. Como análogo y más rigurosamente:
Por el momento $X$ será considerado como un espacio euclidiano real, esto es, $\mathbb{R}^n$, y la distancia es la norma $||\cdot||$, inducida por el producto interno canónico $\langle\ , \rangle$. También consideraremos el euclidiano complejo con el producto hermitiano canónico que naturalmente está identificado con un euclidiano real del doble de la dimensión. Entonces, consideraremos la $n$-esfera como un subconjunto $S^{n}$ de $\mathbb{R}^{n+1}$, $$S^n=\{(x_0, x_1, x_2, \dots, x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}|\ x_0^2+x_1^2+\dots+x_n^2=1\}.$$
La $0$-esfera consiste de dos puntos, y corresponden a los extremos de un intervalo. Se le puede dar una estructura multiplicativa, de manera que $S^0\simeq\mathbb{Z}_2$.
La proyección estereográfica es una identificación entre puntos de la $n$-esfera con una compactificación de $\mathbb{R}^n$. Explicaremos el caso de dimensión $2$, esto es, para la $2$-esfera: $$S^2=\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3|\ x^2+y^2+z^2=1\}.$$
Sea $N=(0, 0, 1)$ el polo norte y $p=(p_1, p_2, p_3)\in S^2$ un punto en el casquete superior, distinto de $N$. Asignamos a $p$ la intersección con el plano $XZ$ de la recta que pasa por $N$ y $p$. Llamemos $\Gamma_N(p)$ a tal punto. Ver la figura 1.
Así obtenemos la expresión de la proyección desde el polo norte: \begin{equation} \Gamma_N(p_1, p_2, p_3)=\frac{1}{1-p_3}(p_1, p_2, 0). \end{equation}
Se cubren todos los puntos del casquete superior excepto el polo norte, al que le asignamos el punto al infinito $\infty$.
Procedemos de manera análoga, tomando rectas que unen el polo sur $S=(0, 0, -1)$ con puntos en el casquete inferior, excepto $S$. Lo que se obtiene es:
\begin{equation} \Gamma_S(p_1, p_2, p_3)=\frac{1}{1+p_3}(p_1, p_2, 0). \end{equation}Si $p$ está cerca de $N$ (o de $S$), entonces $\Gamma_N(p)$ (o $\Gamma_S(p)$) tiene norma muy grande, lo que nos permite considerar a $S^2$ como una copia compactificada (por un punto) de $\mathbb R^2$. Más aún, se puede identificar de manera natural $\mathbb{R}^2$ con el plano complejo $\mathbb{C}$ y entonces $S^2=\mathbb{C}\cup\infty$. Puesto de esta manera, a $S^2$ se le conoce como la esfera de Riemann.
Las inversas de cada proyección se calculan:
\begin{eqnarray} \Gamma_N^{-1}(x, y, 0)&=&\left(\frac{2x}{x^2+y^2+1}, \frac{2y}{x^2+y^2+1}, 1-\frac{2}{x^2+y^2+1}\right),\\ \Gamma_S^{-1}(x, y, 0)&=&\left(\frac{2x}{x^2+y^2+1}, \frac{2y}{x^2+y^2+1}, \frac{2}{x^2+y^2+1}-1\right). \end{eqnarray}Las proyecciones y sus inversas son biyectivas y diferenciables. Entonces, esto adicionalmente muestra que la esfera $S^2$ es una variedad lisa (o diferenciable) de dimensión $2$ (porque la cubrimos con abiertos de $\mathbb{R}^2$). Y el menor número de parametrizaciones locales que se pueden dar para cubrir la esfera (de cualquier dimensión) es dos.*A lo largo de este trabajo diremos que una aplicación es diferenciable si todas sus diferenciales existen y son continuas.
En general, para una esfera de dimensión $k$, las correspondientes proyecciones desde el polo norte y polo sur son:
$$\Gamma_{N}:U_N\to\mathbb{R}^k,\ \ \Gamma_N(x_1, ..., x_{k+1})=\frac{1}{1-x_{k+1}}(x_1, ..., x_k), $$ $$\Gamma_{S}:U_S\to\mathbb{R}^k,\ \ \Gamma_S(x_1, ..., x_{k+1})=\frac{1}{1+x_{k+1}}(x_1, ..., x_k).$$A partir de ahora, denotaremos a la proyección estereográfica simplemente como $\Gamma$, omitiendo el índice $N$ o $S$.
La fibración de Hopf clásica fue propuesta por Heinz Hopf en 1931, se trata de descomponer la $3$-esfera con círculos, parametrizados por puntos de la $2$-esfera [Hop31]. Tanto ésta como sus análogos en dimensiones más altas, tienen diversas aplicaciones en matemáticas y en física.
En matemáticas, en los últimos años ha sido una herramienta muy utilizada para construir métricas de Einstein [Bér82] o las de curvatura positiva [Mue87], [Zil], particularmente para construir espacios de curvatura muy grande, por mencionar algunas. Las métricas de Einstein son métricas riemannianas de curvatura de Ricci constante. Como primer acercamiento y para precisar sobre sus múltiples propiedades recomendamos consultar [Bes87].
En cuanto a física, Helmuth Urbantke [Urb03] describe varias otras de las aplicaciones de las fibraciones de Hopf, entre las que destaca la descripción del oscilador armónico isotrópico $2$-dimensional, de Richard Cushmann y David Rod [CR83].
El objetivo de esta sección será definir la fibración de Hopf clásica y entender sus aspectos geométricos más relevantes. También se da la clasificación de fibraciones del tipo para esferas de dimensiones mayores.Sea $\theta\in\mathbb{R}$, y definamos la aplicación $\psi_\theta:\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^2$ por:
\begin{equation} \psi_\theta(z_1, z_2)=\left(e^{i\theta}z_1, e^{i\theta}z_2\right) \end{equation}Esta aplicación es continua, para cada $\theta$; más aún, es diferenciable. Es la identidad en $\mathbb{C}^2$ si y sólo si $\theta=2n\pi$. Entonces, $\psi$ define una acción del círculo
\[ S^1=\{z\in\mathbb{C}|\ |z|=1\}, \]en la $3$-esfera
\[ S^3=\{(z_1, z_2)\in\mathbb{C}^2|\ |z_1|^2+|z_2|^2=1\}, \]llamada la acción de Hopf. Tiene como único punto fijo al origen $\mathcal{O}=(0, 0)$, para $\theta\in [0, 2\pi)$. Además se tiene $\psi_\theta(S^3)= S^3$. Las órbitas de la acción de Hopf son círculos, llamados círculos de Hopf, y el espacio de órbitas es la esfera de Riemann $S^3/S^1=\mathbb{CP}^1\cong S^2\cong\mathbb{C}\cup \infty$.
Por otro lado, sea $\pi:S^3\to S^2$ la aplicación dada por:
\begin{equation*} \pi(z_1, z_2)=\left\{ \begin{array}{@{}l@{\thinspace}l} \frac{z_1}{z_2}\quad \mbox{si $z_2\neq 0$}\\ \infty\quad \mbox{si $z_2=0$}. \end{array}\right. \end{equation*}Puntos de $S^3$ tienen misma imagen bajo $\pi$ si y sólo si están en la misma órbita bajo la acción de Hopf, y la imagen de todo el círculo $\{(z, 0)\in S^3|\ |z|=1\}$ es el punto al infinito $\infty$. A la aplicación $\pi$ se le conoce como la aplicación de Hopf. En coordenadas locales, si $(z_1, z_2)\in S^3$, pasando por la proyección estereográfica, se obtiene:
\begin{equation*} \Gamma^{-1}\circ\pi(z_1, z_2)=\left(2z_1\bar{z_2}, |z_1|^2-|z_2|^2\right). \end{equation*}Se verifica directamente que tales puntos caen en $S^2$, donde $S^2$ es considerada como subconjunto de $\mathbb{C}\times \mathbb{R}\simeq \mathbb{R}^3$.
Para precisar, lo realizado por Cushmann y Rod consistió en ver la aplicación de Hopf como la aplicación cociente de la $S^1-$acción generada por el oscilador armónico. Recientemente Jan-Cees van der Meer, Francisco Crespo y Sebastián Ferrer hicieron un trabajo análogo para el oscilador armónico en dimensión $4$, a través de la fibración de $S^7$ en $S^4$ [MCF16].
Un espacio es simplemente conexo si y sólo si $\pi_1(X)=0$. Entonces $\pi_1(S^n)=0$, para todo $n\neq 1$. Se calcula que $\pi_3(S^2)= \pi_3(S^3)=\mathbb{Z}$. Entonces la fibración de Hopf clásica es el generador (como grupo abeliano aditivo) del tercer grupo de homotopía de la $2$-esfera, y es conocida como un ejemplo no trivial de un haz fibrado.
La aplicación $\pi$ es referida como la proyección del haz, a $E$ se le llama el espacio total, a $B$ el espacio base. Un haz fibrado se dice trivial si $E=B\times F$.
Es común referirse al haz fibrado simplemente como su espacio total $E$.
Si se pide que la proyección $\pi$ sea de clase $C^k$, los homeomorfismos serán aplicaciones diferenciables de la misma clase. Si el haz es diferenciable, tanto $E$, $B$ y $F$ serán variedades diferenciables. Además, $\dim(E)=\dim(B)+\dim(F)$.
La fibración de Hopf no es un fibrado trivial, esto se esboza como sigue. Si dos espacios topológicos son homemorfos, entonces tienen mismo grupo fundamental. También se tiene que:
$$\pi_1(B\times F)\simeq\pi_1(B)\oplus \pi_1(F).$$Como $\pi_1(S^2)=\pi_1(S^3)=0$ y $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$, entonces $S^3\ncong S^2\times S^1$.
Pregunta 1 ¿Qué esferas son fibrados por esferas sobre esferas?, en otras palabras, ¿para qué valores de $n$ y $k$, $S^n$ es un haz fibrado (no trivial) sobre $S^k$, con fibra $S^{n-k}$?
La respuesta fue dada por John Frank Adams en 1960, quien proporciona la clasificación completa de fibraciones de este tipo [Ada60]. De hecho, el trabajo de Adams es fundamental para responder ésta y el resto de las preguntas que aparecerán a lo largo de la exposición.
La primera fibración se puede describir como la frontera de la banda de Möbius. La segunda de estas fibraciones es la antes referida como clásica, y la tercera y cuarta son conocidas como fibraciones generalizadas de Hopf.
La $n$-esfera puede describirse como el subconjunto $S^{n-1}\subset \mathbb{R}^n$ de vectores de norma $1$. El espacio tangente en un punto $p\in S^{n-1}$ se define como el espacio vectorial de dimensión $n$, $T_p M$, formado por vectores ortogonales a $p$:
\[ T_pM=\{v\in\mathbb{R}^n|\ \langle v, p\rangle =0\}. \]Un campo vectorial es una función diferenciable,
\[ \mathfrak{X}:S^{n-1}\to \mathbb{R}^n \]que asigna cada punto $p\in S^{n-1}$, un vector tangente $v\in T_p M$ en $p$.
Nos interesa saber cuál es el máximo número $s(n)$ de campos vectoriales $\mathfrak{X}_1, \mathfrak{X}_2 \dots, \mathfrak{X}_s$, tales que el conjunto de vectores $\{\mathfrak{X}_1(p), \mathfrak{X}_2(p), \dots \mathfrak{X}_s(p)\}$ sea linealmente independiente, para todo $p\in S^{n-1}$. La respuesta se obtiene a través del siguiente resultado, que se deduce de los trabajos de Adolf Hurwitz [Hur22], Johann Radon [Rad22], Beno Eckmann [Eck43] y John Frank Adams [Ada62].
Sea $n$ un entero positivo, entonces se puede escribir $n=u\cdot 2^{4\alpha+\beta}$, con $u$ un impar, $\alpha\geq 0$ y $0\leq \beta \leq 3$. Sea $\rho(n)=8\alpha+2^{\beta}$.
Una $n$-esfera se dice paralelizable si $\rho(n)=n$. Un grupo de Lie es un grupo abstracto $G$ que además tiene estructura de variedad diferenciable y tal que las operaciones de grupo, de $G\times G$ en $G$, son diferenciables. Un hecho conocido es que todo grupo de Lie es paralelizable. Esto nos conduce a la siguiente:
Pregunta 2 ¿Qué esferas son paralelizables?
La esfera $S^0=\mathbb{Z}_2$ es evidentemente paralelizable. Luitzen Egbertuz Jan Brouwer demostró la no existencia de un campo vectorial no nulo en $S^2$ [Bro12]. Este resultado es conocido como el teorema de la bola peluda. Se sigue que $S^2$ no es paralelizable. Por otro lado, se sabe que las únicas esferas que son grupos de Lie son $S^0, S^1$ y $S^3$. Por su parte Raoul Bott y John Milnor demostraron que $S^7$ es paralelizable [BM58]. Por su parte, Michel Kervaire da otra prueba de que $S^7$ es paralelizable y demuestra que estos son todos los casos posibles [Ker58]. En resumen, se tiene el siguiente teorema.
Observemos que las esferas que son paralelizables aparecen como las fibras de cada fibración de la clasificación de Adams. Es decir, hay una correspondencia entre fibraciones de Hopf y esferas paralelizables.
A una aplicación $f\colon S^{2n-1}\to S^{n}$ se le puede asignar un número entero, llamado el invariante de Hopf, cuya interpretación puede darse en términos de cohomología. Por diversas razones, a uno le interesa la situación en que ese número es exactamente $1$, a lo que se conoce como el problema del invariante de Hopf igual a $1$. Nos refereriemos éste simplemente como el problema del invariante de Hopf. La solución está dada en el trabajo de Adams antes mencionado [Ada60], en 1960; posteriormente, junto con Sir Michael Francis Atiyah, se presentó una prueba utilizando K-teoría [AA66].
Invitamos al lector a revisar los aspectos básicos de la cohomología, una excelente fuente es [Hat02]. Para el que desea conocer más sobre K-teoría y una parte de su potencial, una referencia estándar es el libro [Ati67].
El objetivo de esta sección es el de plantear el problema del invariante de Hopf, de una manera accesible. Como se ha hecho con las anteriores, contaremos cuál es la solución. A lo largo de esta sección $M$ y $N$ denotarán dos variedades diferenciables $M, N\subseteq \mathbb{R}^{n+m+1}$, con $\dim(M)=m$ y $\dim(N)=n$.
Aquí $f^*\omega$ es una forma de volumen en $M$, inducida por la forma de volumen $\omega$ de $N$, a través de $f$. También hemos usado que $\omega$ es una forma de volumen, que determina una orientación en $N$.
Geométricamente, este número cuenta las veces que $M$ “envuelve” a $N$, a través de la aplicación $f$. El grado es un entero, es invariante bajo homotopías y su signo depende de las orientaciones de $M$ y $N$.
Se puede ver fácilmente que si $M, N\subseteq \mathbb{R}^{m+n+1}$ son disjuntas, entonces su número de enlace es $0$.
Sea $f: M\to N$ una aplicación diferenciable, la diferencial de $f$ en un punto $p\in M$, es una transformación lineal $df_p: T_pM\to T_{f(p)}N$, que envía un vector tangente $v$ en $p$, a un vector tangente $df_p(v)$ en $N$. Más precisamente, si $\alpha:[0, 1]\to M$ es una curva en $M$ que empieza en $p$, es decir, $\alpha(0)=p$, entonces $\alpha^{\prime}(0)=v\in T_pM$. Luego, $\beta=f\circ\alpha$ es una curva en $N$ que empieza en $f(p)$, y por tanto $w=\beta^{\prime}(0)\in T_{f(p)}N$. La diferencial es la transformación que envía $v$ en $w$. Un punto $y\in N$ es un valor regular si para cada $p\in f^{-1}(y)$ la diferencial en $p$ es suprayectiva. En este caso, resulta que $f^{-1}(y)$ es una subvariedad de $M$.
El número de enlace está bien definido, sólo depende de la clase de homotopía de $f$.
Pregunta 3 ¿Para qué valores de $n$, aplicaciones entre esferas $f:S^{2n-1}\to S^n$ tienen invariante de Hopf exactamente $1$?
Como observación se tiene que al considerar esferas el invariante de Hopf induce un homomorfismo de grupos $$H:\pi_{2n-1}(S^n)\to \mathbb{Z}.$$
Estas dimensiones corresponden a las de los espacios base de las fibraciones de Hopf. Entonces, las fibraciones de Hopf tienen invariante de Hopf igual a $1$. Explicaremos el significado geométrico de esto, especializándonos al caso en que $n=2$, es decir, en la fibración de Hopf clásica.
La fibración de Hopf es un fibrado que localmente es un producto cartesiano, sin embargo, todo par de fibras están enlazadas, fenómeno conocido como el enlace de Hopf.
Aunque este enlace se produce y podría pensarse que entra en conflicto con la trivialidad local, en realidad puede “deshacerse”. Esto significa que existe un difeomorfismo, es decir, una aplicación diferenciable con inversa diferenciable que produce o anula el enlace.
La $3$-esfera se puede obtener pegando dos toros sólidos $T_1$, $T_2$ por la frontera. De hecho, al remover un punto de $S^3$, lo que se obtiene se puede describir como una unión de dos toros sólidos. Una identificación se puede obtener pegando un meridiano de $T_1$ con un paralelo en $T_2$ que tenga número de enlace igual a $0$ con respecto al paralelo central. El paralelo central de $T_1$ se identifica con el punto al infinito. De esta manera, $S^3$ menos los paralelos centrales de cada toro resulta en una unión de toros anidados. Entonces cada círculo en $S^2$ genera un toro en $S^3$, llamado toro de Hopf. Ahora, cortemos en $S^3$ cada toro a lo largo de un meridiano y demos un giro completo. Los toros ahora tienen mismos paralelos, pero con meridanos rotados. Si nuevamente realizamos la identificación de $T_1$ y $T_2$, pegando meridanos de uno con paralelos del otro, obtenemos $S^3$, pero los meridanos de los toros producen enlaces, y cualesquiera par de toros están entrelazados. Que las fibraciones de Hopf tengan invariante de Hopf igual a $1$ significa que este fenómeno geométrico ocurre.
Referimos al lector al trabajo de Niles Johnson Visualizing the Hopf Fibration que tiene excelentes gráficos, donde se ilustra el enlace descrito y los toros de Hopf:
Recordemos que un álgebra real (finita) $\mathcal{A}$ es un espacio vectorial (de dimensión finita) sobre $\mathbb{R}$, que además tiene una aplicación bilineal entre sus elementos, llamada multiplicación. La bilinealidad de la multiplicación es con respecto a la suma que tiene como espacio vectorial.
Un álgebra real $\mathcal{A}$ es un álgebra de división si dados $a, b\in \mathcal{A}$, con $a\cdot b=0$, se tiene que $a=0$, o $b=0$. Es además un álgebra normada si tiene una norma $||\cdot||$ que satisface $||a\cdot b||=||a||\ ||b||$.
Ejemplos muy conocidos de álgebras normadas y de división son $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$, estas tienen dimensiones (como espacios vectoriales) $1$ y $2$, respectivamente.
Los cuaternios es el conjunto $\mathbb{H}$,
\[ \mathbb{H}=\{a+b{\bf i}+c{\bf j}+d{\bf k}|\ a, b, c, d\in \mathbb{R}\} \]con ${\bf i}^2={\bf j}^2={\bf k}^2=-1$, y ${\bf i}{\bf j}={\bf k}, {\bf j}{\bf i}=-{\bf k}$. Es un álgebra de división normada, y como $\mathbb{R}$-espacio vectorial es naturalmente identificada con $\mathbb{R}^4$.
Los octonios $\mathbb{O}$ es el $\mathbb{R}$-espacio vectorial de dimensión $8$ generado por elementos unitarios $e_o, e_1, \dots e_7$. Es un álgebra real cuya regla de multiplicación puede ser dada sobre sus elementos unitarios:
\begin{equation*} e_{i}e_{j}=\begin{cases} e_{j}, &\text{si }i=0\\e_{i},&{\text{si }}j=0\\ -\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k}, &\text{cualquier otro caso} \end{cases} \end{equation*}donde $\delta _{ij}$ es la delta de Kronecker y $\varepsilon_{ijk}$ vale $-1$ si se intercambian cualesquiera dos índices, y toma el valor de $+1$ cuando $(ijk) =(123), (145), (176), (246), (257), (347)$ y $(365)$. Los octonios forman un álgebra real de división, normada.
El siguiente resultado se obtiene de [Fro78] y [Hur22].
Las dimensiones de éstas, como espacios vectoriales, son $1$, $2$, $4$ y $8$. Estas mismas álgebras aparecen como los espacios ambiente de las fibras de cada fibración de Hopf. Así que también hay una correspondencia entre álgebras reales y fibraciones de Hopf.
Para una exposición amplia y detallada de las construcciones de álgebras reales y su clasificación, recomendamos al lector el libro de John Patrick Ward [War97].
Pregunta 4 ¿Qué esferas tienen estructura de $H$-espacio?
Claramente, si una esfera es un grupo de Lie, entonces es un $H$-espacio. Las únicas esferas que son grupos de Lie son $S^1$, $S^3$ y $S^7$. De hecho, la respuesta completa a esta pregunta es:
Recordemos que $S^0\simeq\mathbb{Z}_2$, entonces las estructuras multiplicativas correspondientes de estas esferas son las de las álgebras $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}$ y $\mathbb{O}$, respectivamente. Nuevamente, los espacios que aparecen son las fibras de cada fibración de Hopf.
La $n$-esfera es un espacio topológico, más aún, es una variedad diferenciable. Entonces puede describirse en términos topológicos, geométricos y métricos, aunque también en términos algebraicos. Entre las presentaciones que aquí fueron dadas, existe una descripción de una esfera a través de esferas de dimensión más pequeña, esto es, con una fibración de Hopf. Éste es un elemento del grupo de homotopía $\pi_{k}(S^n)$, y se observó que para que éste exista, necesariamente $k=2n-1$. Además, la fibra de la fibración debe ser $S^{n-1}$. Entonces, la exposición puede resumirse en el siguiente resultado:
El trabajo de Hopf fue más general, extendiendo la fibración clásica a otras dimensiones. Describió $2n+1-$esferas a través de círculos, también $4n+3-$esferas por $3$-esferas, y dio la antes mencionada fibración de $S^{15}$ sobre $S^8$ [Hop35]. Sin embargo, desde otros puntos de vista se pueden obtener otro tipo de generalizaciones.
Las líneas proyectivas de las álgebras reales $\mathbb{R}, \mathbb{C},\mathbb{H}$ y $\mathbb{O}$ son exactamente los espacios base de cada fibración de Hopf. Según la clasificación de Adams:
\begin{equation*} \mathbb{RP}^1\simeq S^1, \quad \mathbb{CP}^1\simeq S^2 \quad \mathbb{HP}^1\simeq S^4 \quad \mathbb{OP}^1\simeq S^8. \end{equation*}Entonces una manera de generalizar las fibraciones de Hopf consiste en consider fibraciones de $k$-esferas sobre espacios proyectivos de dimensión mayor:
\begin{eqnarray*} S^0\hookrightarrow &S^n&\to \mathbb{RP}^n\\ S^1\hookrightarrow &S^{2n+1}&\to\mathbb{CP}^n\\ S^3\hookrightarrow &S^{4n+3}&\to \mathbb{HP}^n\\ S^7\hookrightarrow &S^{15}&\to \mathbb{OP}^1 \end{eqnarray*}El caso de $S^{15}$ es más excepcional, es la esfera de dimensión más pequeña que cuenta con más de siete campos vectoriales linealmente independientes [Hus94]. Por otra parte, similar al Teorema de bola peluda, cualquier campo vectorial global tangente a las fibras de la fibración octoniónica de Hopf, tiene al menos un cero [Orn+13].
Las fibraciones complejas fueron estudiadas por Kinetsu Abe en una serie de artículos, extendiendo algunas nociones a cocientes de $\mathbb{C}^{n+1}$ bajo $\mathbb{C}$-acciones. Ver [Abe77], [Abe78], [Abe85]. La fibración octoniónica de Hopf no puede extenderse a proyectivos octoniónicos de mayor dimensión. A saber, $S^{23}$ es un haz fibrado sobre $\mathbb{OP}^2$, con fibra $S^7$.
En estos fibrados existen construcciones de métricas de Einstein que son muy bien descritas en el libro clásico publicado bajo el seudónimo colectivo de Arthur L. Besse [Bes87].
Los espacios lente son espacios cocientes de esferas por la acción libre de un grupo cíclico. Entre ellos se enlistan $S^3$, $\mathbb{RP}^3$ y $S^2\times S^1$. Estos espacios adquieren importancia pues presentan fenómenos topológicos interesantes. Por ejemplo, existen pares de espacios lente que son homotópicamente equivalentes pero que no son homeomorfos.
En esta dirección, otra manera de obtener fibraciones de tipo Hopf es pensar en fibrados con espacio total, espacio base y fibra un espacio lente. Referimos al lector nuevamente a [Urb03], Apéndice A.5, donde se describen algunos espacios lente como fibrados de círculos. Con más profundidad, los trabajos antes mencionados de Abe también tratan el caso de espacios lente como generalizaciones de fibraciones de Hopf.
Agradezco el imprescindible apoyo por parte del Proyecto CONACyT CB2016/283960. Agradezco a Noé Bárcenas por motivar la realización de este texto, y también los oportunos comentarios de Jesús Núñez Zimbrón y Manuel Sedano sobre la propuesta inicial del trabajo; ayudaron a nutrirlo.
