Plimpton 322 es una tableta de arcilla, de casi 4000 años de antigüedad, encontrada en el sitio correspondiente a la antigua ciudad de Larsa en Mesopotamia (donde ahora está la ciudad de Tell as-Senkereh, al sur del Irak actual, que entonces era parte del Imperio Otomano) que fue excavada ilegalmente hacia 1920. Esta tableta, junto con muchas otras, fue traficada por el diplomático estadounidense E. J. Banks para revenderla al comprador estadounidense G. A. Plimpton, que a su vez la donó a la Universidad de Columbia en Nueva York, como parte de una colección de tabletas de arcilla con textos cuneiformes de la antigua Mesopotamia, extraidas de Irak violando varias leyes de protección de antigüedades del Imperio Otomano. Para poner en contexto el saqueo europeo y estadounidense de artefactos arqueológicos, basta mencionar en el contexto de Plimpton 322, que mucho de lo saqueado en Larsa se encuentra en el Museo Ashmolean de Oxford, en la Colección Babilónica de Yale o en el Louvre. Plimpton 322 es el número 322 de la colección de tabletas cuneiformes en la biblioteca Butler de la Universidad de Columbia.
El interés matemático de Plimpton 322 es la interpretación de Otto Neugebauer [NS45, Neu69], de los números listados en esta tableta como ternas pitagóricas, es decir, soluciones enteras no triviales de la ecuación pitagórica $x^2+y^2=z^2$ descubiertas miles de años antes que los griegos demostraran el teorema pitagórico. ¿Quién fue el escriba?, ¿Un colega nuestro?, ¿Cuál era su motivación para listar tantas ternas pitagóricas? Las preguntas anteriores no son ociosas, por ejemplo, si a uno le preguntan por algunas ternas pitagóricas, lo mas probable es que nuestra lista comience con $(3,4,5)$ o tal vez $(5,12,13)$ y algunas otras si se piensa un rato. Plimpton 322 comienza con la terna $(119,120, 169)$ y contiene la terna $(12\, 709, 13\, 500, 18\, 541)$.
Plimpton 322 tiene en uno de sus lados una tabla con 4 columnas cuyo primer renglón son textos (en sumerio y acadio(2)) que encabezan cada columna de números. Los 15 renglones siguientes contienen números, en sexagesimal(3) por supuesto. La columna(4) IV del extremo derecho simplemente numera los renglones del 1 al 15, con una interpolación obvia donde la tableta está dañada (el encabezado dice: su nombre). La columna III, tiene como encabezado: el cuadrado(5) de la diagonal del rectángulo asociado (hipotenusa del triángulo rectángulo(6) correspondiente). La columna II, tiene como encabezado: el cuadrado del lado corto, es decir, de uno de los catetos de los triángulos. La columna I, tiene un problema de interpretación, ya que la tableta tiene una fractura en su lado izquierdo. Para interpretar los signos de esta columna, abusando de la historia y siguiendo a Neugebauer, se denota por $d$ la hipotenusa de la tercera columna y por $b$ uno de los catetos (el lado corto, como pone el escriba, o base como anacrónicamente interpretamos) y sea $\ell$ el otro cateto (el lado largo o altura, pero esto no está en la tableta). Entonces, la columna I lista los números $d^2/\ell^2$ o, en otra interpretación, $b^2/\ell^2$. Esta ambigüedad se debe al daño físico de la tableta, ya que pequeñas ranuras en el lugar de intersección de las reglas horizontales de la tableta y la recta vertical que demarca la primera columna(7) se confunden con trazos cuneiformes. Si los primeros trazos son verdaderos signos cuneiformes, estos corresponden al $1$ y se tiene la primera interpretación $d^2/\ell^2$, con el $1$ como pusimos en la transliteración. Si los primeros trazos son intersecciones de las reglas horizontales y la recta vertical de la primera columna, se tiene la segunda interpretación $b^2/\ell^2$ y el primer numeral $1$ se elimina. Transliterada(8) en sexagesimal, salvo la ambigüedad del $1$ que encabeza cada número de la primera columna, Plimpton 322 es:
| I: Texto dañado | II: lado corto | III: diagonal | IV: Número |
| $d^2/\ell^2 \quad \text{ o }\quad b^2/\ell^2$ | $b$ | $d$ | de renglón |
| 1 59 00 15 | 1 59 | 2 49 | 1 |
| 1 56 56 58 14 50 06 15 | 56 07 | 1 20 25 | 2 |
| 1 55 07 41 15 33 45 | 1 16 41 | 1 50 49 | 3 |
| 1 53 10 29 32 52 16 | 3 31 49 | 5 09 01 | 4 |
| 1 48 54 01 40 | 1 05 | 1 37 | 5 |
| 1 47 06 41 40 | 5 19 | 8 01 | 6 |
| 1 43 11 56 28 26 40 | 38 11 | 59 01 | 7 |
| 1 41 33 45 14 3 45 | 13 19 | 20 49 | 8 |
| 1 38 33 36 36 | 8 01 | 12 49 | 9 |
| 1 35 10 02 28 27 24 26 40 | 1 22 41 | 2 16 01 | 10 |
| 1 33 45 | 45 | 1 15 | 11 |
| 1 29 21 54 2 15 | 27 59 | 48 49 | 12 |
| 1 27 00 03 45 | 2 41 | 4 49 | 13 |
| 1 25 48 51 35 6 40 | 29 31 | 53 59 | 14 |
| 1 23 13 46 40 | 28 | 53 | 15 |
Los errores conocidos en la tableta son siete, cuatro de ellos tal vez errores de copia (marcados en azul en la tabla anterior), pero tres de ellos son computacionales (marcados en rojo en la tabla anterior) e influyen en cómo interpretar los números. En sexagesimal los errores son:
La interpretación de Neugebauer [NS45, Chapter iii §2] toma como sugerencia los encabezados de las columnas III (diagonal o hipotenusa $d$) y II (lado corto o cateto $b$) y calcula la diferencia $d^2-b^2$ observando que, salvo los siete errores mencionados, esta diferencia es un cuadrado perfecto $\ell^2$. ¡Esto no puede ser una coincidencia! Más aún, jugando con estos números, los cocientes $d^2/\ell^2$ son las entradas de la primera columna. Neugebauer leía la primera columna de acuerdo a la primera interpretación arriba mencionada(10). Traducida del sexagesimal corregido al decimal y añadiendo una columna extra para el cateto largo, Plimpton 322 contiene implícitamente quince ternas pitagóricas $(d,\ell,b)$ en algún orden no obvio (sólo la columna I está en orden descendente, lo cual se usa en un argumento acerca de cómo se generó la tabla):
| $d^2/\ell^2$ | o | $b^2/\ell^2$ | $b$ | $d$ | $\ell$ | Renglón |
| 1.9834028 | o | 0.9834028 | 119 | 169 | 120 | 1 |
| 1.9491586 | o | 0.9491586 | 3 367 | 4 825 | 3 456 | 2 |
| 1.9188021 | o | 0.9188021 | 4 601 | 6 649 | 4 800 | 3 |
| 1.8862479 | o | 0.8862479 | 12 709 | 18 541 | 13 500 | 4 |
| 1.8150077 | o | 0.8150077 | 65 | 97 | 72 | 5 |
| 1.7851929 | o | 0.7851929 | 319 | 481 | 360 | 6 |
| 1. 7199837 | o | 0.7199837 | 2 291 | 3 541 | 2 700 | 7 |
| 1.6845877 | o | 0.6845877 | 799 | 1 249 | 960 | 8 |
| 1.6426694 | o | 0.6426694 | 481 | 769 | 600 | 9 |
| 1.5861226 | o | 0.5861226 | 4 961 | 8 161 | 6 480 | 10 |
| 1.5625 | o | 0.5625 | 45 | 75 | 60 | 11 |
| 1.4894168 | o | 0.4894168 | 1 679 | 2 929 | 2 400 | 12 |
| 1.4500174 | o | 0.4500174 | 161 | 289 | 240 | 13 |
| 1.4302388 | o | 0.4302388 | 1 771 | 3 229 | 2 700 | 14 |
| 1.3871605 | o | 0.3871605 | 28 | 53 | 45 | 15 |
Varias preguntas naturales se pueden hacer sobre esta tabla, y consideremos sólo dos para limitar la curiosidad (y por lo mismo, sólo consideraremos dos posibles respuestas, dejando la interpretación trigonométrica a un lado). Primero, ¿cuál era su función? Aquí, las respuestas todavía son conjeturales, desde el extremo puro (geometría y aritmética antes de Euclides) hasta el extremo utilitario (tablas de funciones trigonométricas avant la lettre) y tal vez conviene dejar esta pregunta hasta que los arqueólogos y asiriólogos tengan más información. La segunda pregunta, más matemáticamente interesante, es ¿cómo se generó esta tabla? Neugebauer en [NS45, págs. 40–41] y [Neu69, págs. 36–40] argumenta que la tabla se generó por medio de dos parámetros enteros $p \mayorque q \mayorque 0$ coprimos y de paridad distinta. Entonces, las ecuaciones \begin{align*} b&=p^2-q^2\\ \ell&=2pq\\ d&=p^2+q^2 \end{align*} dan todas las ternas sin repetición. Esta argumentación tiene varias lagunas (no matemáticas, sino historiográficas). Primero, cómo se escogen los parámetros $p,q$. Segundo, la forma en que están listadas las ternas en Plimpton 322 no permite que los parámetros lleven un orden natural y es conocido, por otras tabletas de la misma época, que a los escribas les gustaba usar un orden descendente en sus tabulaciones.
En la aritmética mesopotámica, la división se define como multiplicación por el inverso del divisor(11) y distinguían
entre las fracciones que terminan, es decir, aquellas con denominador divisible únicamente por los divisores primos de 60, de las que no terminan. Para facilitar sus operaciones aritméticas, tenían tablas de multiplicar de sus 59 dígitos (de hecho, 58, obviando la de multiplicar por la unidad), semejantes a las de nuestra infancia y su algoritmo para multiplicar enteros en sexagesimal es el mismo que el nuestro. Para multiplicar por fracciones tenían tablas de recíprocos que podían usar en su método de multiplicar sin cambios. Neugebauer [Neu69, Págs. 21–22] da el ejemplo siguiente: para multiplicar $12\times 12$ sólo usa la tabla de multiplicación del 12 donde encuentra $12\times 12$ = 2 24 (en sexagesimal, por supuesto). Ahora, si quiere multiplicar $12\times (1/5)$, donde en sexagesimal 1/5 = 12/60 = 0;12 (en la notación de Neugebauer el punto y coma separa la parte fraccionaria y hemos añadido un $0$ anacrónico donde el escriba no pone nada), calcula el producto $12\times (1/5)= 12\times (12/60)$ = 12 $\times$ 0;12 = $12 \times 12$, usa la tabla del 12 como antes y luego recorre el signo que separa la parte fraccional (nuestro punto decimal) para obtener 2;24 (en sexagesimal). El uso de estas tablas de multiplicar y de tablas de recíprocos de números estaba generalizado en las escuelas de escribas de esta época, y se han encontrado miles de tablas donde los alumnos practicaban sus multiplicaciones y, tal vez, memorizaban sus tablas. Entre estas tablas, hay varias que listan números y sus
recíprocos(12) y hay tablas donde los alumnos calculaban recíprocos, especialmente, de las fracciones que terminan
. Con esta evidencia adicional,
Bruins [Bru49] y posteriormente Friberg [Fri81, Fri07] y otros, argumentan que las entradas en Plimpton 322 se obtienen a partir de parámetros $t \mayorque 0$ y sus inversos $1/t$ y que varían en un conjunto adecuado de quince números racionales, por medio de las igualdades
\begin{align*}
\frac{b}{\ell}&=\frac{1}{2}\Big(t-1/t\Big)\\
&\\
\frac{d}{\ell}&=\frac{1}{2}\Big(t+1/t\Big).
\end{align*}
Una forma sistemática y sin prejuicios para buscar los valores del parámetro $t=s/r$, asumiendo que $s$ y $r$ son enteros coprimos tales que las fracciones $1/t \mayorque t \mayorque 0$ terminan
en sexagesimal (es decir, sus denominadores son de la forma $2^i3^j5^k$, producto de los divisores primos de 60) fue argumentada inicialmente por Neugebauer y Sachs en [NS45] y precisada por otros después, para acotar $t=s/r$ en el intervalo $\sqrt{2}-1 \menorque t\leq 5/9$ con $1\leq s \menorque 60$. Friberg [Fri81, Figura 2.1, pág. 286] grafica estos valores y localiza los pares que corresponden a Plimpton 322. Una consecuencia adicional de este argumento es la existencia de 23 parámetros complementarios que darían igual número de ternas pitagóricas además de las 15 de Plimpton 322.
Robson [Rob02, Págs. 113 – 116] añade a lo anterior un argumento paleolingüístico, a saber, su reconstrucción del encabezado de la primer columna en Plimpton 322.
Si la lectora o lector sienten tentada su curiosidad, Otto Neugebauer [NS45, Neu69] es el inicio de esta aventura, Jöran Friberg [Fri81] es una lectura mas sobria y Eleanor Robson [Rob01, Rob02] una mas reciente.
dígitosy en la transliteración se ponen en bloques de a lo más dos. La transcripción que usamos es algo diferente de la usada por Neugebauer, usando espacios (como el original sumerio o acadio) para separar bloques, en lugar de comas. Por ejemplo, cuando Neugebauer escribe 1,10 la transcripción que usamos es 1 10. Convertido en decimal es $1\times 60 + 10=70$. La ausencia inicial del dígito 0 (para el cual se usa, a veces, un espacio) en el sistema de numeración sumerio puede causar ambigüedades en la lectura. Por ejemplo, se puede tener la secuencia 5 6 donde el espacio entre 5 y 6 no sea claro, lo cual lleva a dos interpretaciones: si son dos dígitos es 5 6 = $5\times 60+6=306$ y si es un único dígito es 56. Más aún, la notación no distingue entre la parte entera y la fraccional de un número, y su valor tiene que determinarse por el contexto. Note además que en la transliteración que usamos hay ceros anacrónicos en algunos de los pares, para evitar lecturas ambiguas.
