Artículos panorámicos

La teoría de retículas y el idioma de los módulos

Martha Lizbeth Shaid Sandoval-Miranda

$\newcommand{\menorque}{<}$ $\newcommand{\mayorque}{>}$ $\newcommand{\Mod}{\mathrm{Mod}}$ $\newcommand{\RMod}{\mathrm{R{-}Mod}}$ $\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$ $\newcommand{\End}{\mathrm{End}}$ $\newcommand{\Sfi}{\mathrm{S}_{fi}}$ $\newcommand{\Cog}{\mathrm{Cog}}$ $\newcommand{\R}{\mathrm{R}}$ $\newcommand{\C}{\mathcal{C}}$ $\newcommand{\X}{\mathcal{X}}$ $\newcommand{\A}{\mathcal{A}}$ $\newcommand{\B}{\mathcal{B}}$ $\newcommand{\K}{\mathcal{K}}$ $\newcommand{\Sk}{\it{Skel}}$ $\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}$ $\newcommand{\rad}{\mathrm{rad}}$ $\newcommand{\retrad}{\underline{\mathrm{rad}} }$ $\newcommand{\soc}{\mathrm{soc}}$ $\newcommand{\retsoc}{\underline{\mathrm{soc}} }$ $\newcommand{\Coker}{\mathrm{Coker}}$ $\newcommand{\D}{\mathcal{D}}$ $\newcommand{\E}{\mathcal{E}}$ $\newcommand{\T}{\mathbb{T}}$ $\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$ $\newcommand{\ltc}{\mathcal{L}}$ $\newcommand{\ltch}{\mathcal{L}_{\twoheadrightarrow}}$ $\newcommand{\ltcc}{\mathcal{L}_{\rightarrowtail}}$ $\newcommand{\Rpr}{\mathrm{R\text{-}pr}}$ $\newcommand{\Rlep}{\mathrm{R\text{-}lep}}$ $\newcommand{\Rtrad}{\mathrm{R\text{-}trad}}$ $\newcommand{\Rrad}{\mathrm{R\text{-}rad}}$ $\newcommand{\Rid}{\mathrm{R\text{-}id}}$ $\newcommand{\Rler}{\mathrm{R\text{-}ler}}$ $\newcommand{\Rrid}{\mathrm{R\text{-}rid}}$ $\newcommand{\RTORS}{\mathrm{R\text{-}TORS}}$ $\newcommand{\Rtors}{\mathrm{R\text{-}tors}}$ $\newcommand{\Rqtors}{\mathrm{R\text{-}qtors}}$ $\newcommand{\Rprex}{\mathrm{R{-}prex}}$ $\newcommand{\Rsimp}{\mathrm{R\text{-}simp}}$ $\newcommand{\Ess}{\mathrm{Ess}}$ $\newcommand{\reti}{\mathscr{L}}$ $\newcommand{\0}{\underline{0}}$ $\newcommand{\I}{\underline{1}}$ $\newcommand{\ds}{\displaystyle}$

Resumen

La teoría de estructuras algebraicas tales como anillos y módulos siempre han estado en interrelación con la teoría de estructuras ordenadas (retículas, marcos, (cuasi)cuantales). En este artículo además de abordar estas conexiones, también incluimos el de la topología y la teoría libre de puntos. En particular, veremos como en el proposito de estudiar anillos y módulos desde el punto de vista de su retícula de submódulos (idioma), podemos asociarles espacios topológicos.

Introducción

En el estudio de las distintas ramas de las matemáticas, podemos encontrar la aplicación de la teoría de categorías; permitiéndonos con ello no únicamente estudiar de manera individual los objetos, sino que atendiendo también a los morfismos (una forma de generalización de la idea de función) que preserven las estructuras en cuestión. Para los propósitos de este texto, remitimos al lector a [Alb14],[AF12], [Bor94],

[Mit65], [Pop73], [Ste75]; donde se pueden encontrar las definiciones y resultados principales en el estudio de la teoría de categorías (definición de categoría, funtor, transformaciones naturales, entre otros).

Una lista amplia de ejemplos de categorías puede consultarse, por ejemplo, en [Alb14, Capítulo 3]; en particular, las categorías abelianas y de Grothendieck, tales como $R-Mod,$ la categoría de $R-$módulos izquierdos sobre un anillo unitario $R$.

Para hablar un poco más de nuestro interés al mencionar también las categorás abelianas de Grothendieck, debemos introducir también a las retículas. Recordemos que la teoría de estas estructuras algebraicas llamadas retículas (lattices, en inglés) tiene sus inicios hace poco más de un siglo. Sus orígenes de estudio podemos encontrarlos entre las segunda mitad del siglo xix y los inicios del siglo xx [Grä11]:

En varios trabajos, tales como los realizados por George Boole, Edward V. Huntington, Charles S. Pierce y Ernst Schröder; en la busqueda de una formalización y axiomatización de las álgebras booleanas, introducidas por G. Boole.
En trabajos realizados por Richard Dedekind; descubriendo así las propiedades básicas de las retículas modulares (Dual Gruppen von Modultypus, 1900).

En la década de 1930, Garrett Birkhoff, (libro Lattice Theory) presentó un estudio sistemático de la teoría de retículas, llamandola a vigorous and promising younger brother of group theory[Bir38]. Con su trabajo, logró generalizar varias de las nociones familiares que encontramos al estudiar por ejemplo, subconjuntos de un conjunto y la lógica de la teoría de conjuntos; subestructuras de una estructura algebraica, tales como grupos, anillos y módulos; así como también en el estudio de espacios topológicos, (ver también [Rot97]).

Actualmente, la teoría de retículas la podemos encontrar en aplicaciones a la teoría formal de conceptos (FCA, Formal Concept Analisys) [GSW05]; así como en inteligencia artifical, reconocimiento de patrones, análisis de imágenes, redes neuronales biomiméticas, como se menciona en [RU21].

El concepto de idiomas en categorías abelianas de Grothendieck

Consideremos ahora las siguientes definiciones:

Decimos que un conjunto parcialmente ordenado $(A,\preceq)$ es una retícula, si satisface que para cualesquiera $a,b\in A,$ existen $a\vee b\in A$ y $a\wedge b\in A.$ En el caso en que para todo $X\subseteq A$ se satisface que existen $\bigvee X,\bigwedge X\in A,$ decimos que $A$ es una retícula completa.

Sea $A$ una retícula completa. Decimos que:

$A$ es modular si para cada $a,b,c\in A$ con $a\leq b,$ se satisface que $b\wedge (a\vee c)=a\vee(b\wedge c).$

$A$ es superiormente continua si para todo $a\in A$ y $X\subseteq A$ dirigido se satisface que $a\wedge \bigvee X=\bigvee\{a\wedge x\mid x\in X\}.$

Una retícula completa, modular y superiormente continua, recibe el nombre de idioma; término dado por Harold Simmons en su investigación desarrollada en Teoría de (pre)-núcleos e idiomas [Sim89], [Sim11], [Sim].

Consideremos $R$ un anillo unitario y $M\in R-Mod.$ Denotemos por $$\Lambda(M):=\{N\mid N\mbox{ es un }{R-}\mbox{submódulo de }M\},$$ al conjunto de todos los $R$-submódulos de $M;$ y consideremos el orden usual dado por la relación de submódulo $\leq$. Se puede demostrar que $\Lambda(M)$ con el orden $\leq$ es una retícula completa, modular y superiormente continua. Es así que $\Lambda(M)$ es llamado el idioma de submódulos del módulo $M.$

Ahora, hablemos de lo que ocurre en el caso de una categoría abeliana de Grothendieck:

[Alb14, Capítulo 3] Una categoría abeliana de Grothendieck, $\mathcal G,$ es una categoría abeliana con un generador, tiene coproductos directos arbitrarios, y que satisface el axiona AB5:

Para cada $X\in\mathcal{G}$ y para cada subobjeto $Y\leq X$, y cualqueir familia dirigida $\{X_i\}_{i\in I}$ de subobjetos de $X,$ se satisface que $\displaystyle\sum_{i\in I}X_i\cap Y=\displaystyle\sum_{i\in I}(X_i\cap Y).$

En vista de [Alb14, Proposición 3.2.2], sabemos que para cualquier subobjeto $X$ de una categoría abeliana de Grothedieck, $\mathcal{G},$ se satisfaque que $\mathcal{L}_{\mathcal{G}(X)},$ el conjunto de subobjetos de $X,$ junto con el orden dado por la relación de subobjeto, resulta ser una retícula completa, modular y superiormente continua; esto es, un idioma.

Notemos que en vista de 2.3, 2.4 y 2.6, podemos ver que en el caso de las categorías de módulos sobre un anillo unitario; y de manera más generalizada, para una categoría abeliana de Grothendieck, la teoría de retículas y la teoría de categorías están profundamente conectadas. Además, podemos ver entonces que el término idioma que Harold Simmons dio a retículas completas modulares y superiormente continuas, toma mayor sentido; ya que estas pueden ser vistas como una latticization (T. Albu): traslación al contexto retícular, de las propiedades que cumple el idioma de submódulos de un módulo dado; y entonces, obtener una relativización de condiciones conocidas en la busqueda de nuevos resultados, en nuevos contextos de trabajo ([Alb14]).

La teoría sin puntos y el espectro primo de un módulo

En distintas líneas de estudio del álgebra, el concepto y estudio de objetos llamados primos ha surgido, resultando ser importante en el desarrollo de la teoría concerniente. Por ejemplo, desde nuestros cursos básicos, aprendemos el concepto de números enteros primos, así como de su papel esencial en la Teoría de números. Un teorema fundamental que involucra a los números (enteros) primos, es el conocido Teorema de Euclides :

Si $p$ es un número primo tal que $p|ab$ entonces $p|a$ o $p|b.$

Como generalización, en el estudio de anillos conmutativos con identidad, podemos encontrar el concepto de dividir; y más aún, el concepto de elemento primo en un anillo conmutativo:

Si $R$ es un anillo entero conmutativo con identidad $1_R$ y $1_R\neq p \in R,$ decimos que $p$ es un elemento primo si siempre que $p|ab$ con $a,b\in R$ entonces $p|a$ o $p|b.$

Siguiendo este camino hacia una abstración del concepto de primo a ideales, se tiene la siguiente caracterización:

Sea $R$ un anillo conmutativo con identidad y $P$ un ideal propio de $R.$ Decimos que $P$ es un ideal primo si siempre que $ab\in P$ con $a,b\in R$, entonces $a\in P$ o bien $b\in P.$

En el caso de un anillo con identidad no necesariamente conmutativo, el concepto de ideal primo es presentado como sigue:

Sea $R$ un anillo y $P$ un ideal propio de $R.$ Decimos que $P$ es un ideal primo si: siempre que $IJ\leq P$ para $I,J$ ideales de $R$ entonces $I\leq P$ o $J\leq P.$

En el caso de los anillos conmutativo, la siguiente observación nos permite concluir que las dos definiciones previas de primo son equivalentes.

Sean $R$ un anillo conmutativo con identidad y $P$ un ideal propio de $R.$ Entonces, $P$ es un idel primo de $R$ si y sólo para cada par de ideales $I,J$ tales que $IJ\leq P$ entonces $I\leq P$ o bien $J\leq P.$

Considerando la definición más general de ideal primo que hemos mencionado. Recordemos que el conjunto de ideales primos de $R$ es llamado El Espectro Primo de $R$, denotado por $Spec(R).$ Del hecho de que en cualquier anillo con identidad, todo ideal máximo es un ideal primo, sabemos que $Spec(R)\neq \emptyset.$ Además, se puede dotar a $Spec(R)$ con una topología, llamada la topología de Zariski, para la cual, el conjunto de cerrados son los conjuntos $\mathcal{V}(I)=\{P\in Spec(R)\mid I\subseteq P\},$ donde $I$ es un ideal. Entonces, $\mathcal{V}(I)$ satisface los axiomas de los conjuntos cerrados de una topología sobre $Spec(R).$ Es conocido que la topología de Zariski sobre el espectro de ideales primo de un anillo conmutativo es una de las principales herramientas en Geometría Algebráica y el álgebra Conmutativa.

Un teorema interesante se debe a M. Hochster, quien en 1969 (en Prime ideal structure in commutative rings, Trans. Amer. Math. Soc. 142,43-69) llamó a un espacio topológico espectral si satisface las siguientes condiciones: es $T_0,$ cuasi-compacto, los abiertos cuasi-compactos con cerrados bajo intersecciones finitas y forman una base de abiertos; y cada subconjunto cerrado irreducible tiene un punto genérico. Y notó que para un anillo conmutativo $R,$ $Spec(R)$ es un espacio espectral. De hecho, Hochster demostró también el regreso:

Un espacio topológico $X$ es espectral si y sólo si existe un anillo conmutativo con identidad $R$, tal que $X$ y $Spec(R)$ son espacios topológicos isomorfos.

Sin embargo, la demostración que él presentó conlleva la complejidad de construir un anillo $R$ conmutativo con identidad a partir un espacio topológico $X$ espectral. Es por ello, que el estudio de los espacios topológicos espectrales ha tomado otras vertientes [Ted16], apareciendo entre ellos, por ejemplo, los espacios de Priestley, definidos por Hilary Priestley. [Pri72]. Estos espacios resultan escenciales en el estudio de las retículas distributivas, obteniéndose, por ejemplo, la llamada Dualidad de Priestley.

Podemos ver entonces como en el estudio del espectro primo de un anillo, se involucran además de la teoría de anillos, las teorías de retículas, de espacios topológicos y de categorías. Y en este sentido, en las últimas décadas, un tema interesante de investigación ha sido encontrar condiciones para dotar de un espectro primo a un módulo $M$, como espacio topológico y relacionar las características topológicas de este y subespacios de este, con aquellas de las retículas asociadas a $M$ y al espectro; y del módulo.

En en este punto, debemos notar que para abordar estas ideas y profundizar más en ellas, necesitamos introducir otras estructuras algebraicas que engloben aquellas que nos interesan tales como marcos, idiomas, cuantales, la teoría de categoría y las técnicas provenientes de la teoría de puntos (point-free topology theory, en inglés).

Diremos que una retícula $A$ es distributiva si para todo $a\in A$ y $b,c\in A$ se satisface que $a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c).$ (Equivalentemente,$a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c).$ ) Decimos que $A$ es un marco si para todo $a\in A$ y $X\subseteq A,$ se satisface que $a\wedge \bigvee X=\bigvee\{a\wedge x\mid x\in X\}.$

Un ejemplo clásico e importante de marco es el siguiente:

Consideremos $X$ un espacio topológico y $\mathcal{O}(X)=\{U\subseteq X\mid U \text{es abierto}\}.$ Tomando la contención de conjuntos, tenemos que $(\mathcal{O}(X),\subseteq)$ es un marco; donde

\begin{equation*} \bigvee \{U_i\}_{i\in I}=\bigcup \{U_i\}_{i\in I}, \hspace{10pt}\bigwedge \{U_i\}_{i\in I}=Int\left(\bigcap \{U_i\}_{i\in I}\right). \end{equation*}

Las técnicas sin puntos (point free topology) que nos interesan se basan en el concepto de núcleo, esto es, cierto tipo de funciones. A continuación, damos una revisión rápida de eso.

Dado cualquier morfismo de $\bigvee$-semiretículas $f^{\ast}\colon A\to B,$ existe $f_{\ast}\colon B\to A$ tal que \[f^{\ast}(a)\leq f\iff a\leq f_{\ast}(b),\] para cada $a\in A$ y cada $b\in B.$ Esto es, $f^{\ast}$ y $f_{\ast}$ forma una adjunción. De hecho, $f_{\ast}(b)=\bigvee \{x\in A\mid f^{\ast}(x)\leq b\},$ para cada $b\in B.$

Sea $A$ un idioma. Un núcleo de $A$ es una función $j\colon A\to A$ tal que se cumplen las siguientes condiciones:

$j$ es inflatoria ($a\leq j(a),$ para todo $a\in A$ );
$j$ es idempotente ($j(j(a))= j(a),$ para todo $a\in A$ );
$j$ es un prenúcleo, $j(a\wedge b)=j(a)\wedge j(b).$

Sean $f^{\ast}\colon A\to B$ un morfismo $\bigvee$-semiretículas y $f_{\ast}\colon B\to A$ el adjunto derecho de $f^{\ast}.$ Entonces, $\mu:=f_{\ast}\circ f^{\ast}\colon A \to A$ es un operador cerradura satisfaciendo las siguientes condiciones:

$x\leq \mu(a)$ si y sólo si $f^{\ast}(x)\leq f^{\ast}(a),$ para cada $x,\,a\in A;$
$f^{\ast}(\mu(a))=f^{\ast}(a),$ para cada $a\in A.$
$\mu\colon A\to A$ es un núcleo.

Como sabemos, cada espacio topológico $S$ determina un marco, esto es $(\mathcal{O}(X),\subseteq)$, el marco de abiertos de $X.$ Esto nos permite definir un funtor de la categoría de espacios topológicos ($Top$) a la categoría de marcos $\mathcal{F}rm,$ $\mathcal{O}(-)\colon Top\to \mathcal{F}rm$.

Sea $A$ un idioma. Un elemento $p\in A$ es un punto (o, $\wedge-$irreducible) si $p\neq 1$ y si siempre que $a\wedge b\leq p$ entonces $a\leq p$ o $b\leq p.$

Denotemos por $pt(A)$ al conjunto de todos los puntos de $A.$

Este conjunto puede ser dotado de una topología como sigue: para cada $a\in A,$ define $U_A(a):=\{p\in pt(A)\mid a\not\leq p\}.$

La colección $\mathcal{O}pt(A):=\{U_A(a)\mid a\in A\}$ constituye una topología para $pt(A).$ Además, se tiene un morfmismo de marcos $U:A\colon A\to \mathcal{O}pt(A)$; y por la Proposición 3.7 determina un núcelo sobre $A.$ Se obtiene un funtor $pt(-)\colon \mathcal{F}rm\to Top$ tal que

\[\xymatrix{ Top\ar@<-.6ex> @/ ^1.4pc/[rr]^--{\mathcal{O}(-)}&& \hspace{12pt}\mathcal{F}rm\ar@<-.6ex>@/ _-1.4pc/[ll]^--{pt(-)} }\]

forma una adjunción. Ahora bien, un marco $A$ es espacial si $U_A$ es un morfismo inyectivo (y en consecuencia, un isomorfismo), [Sim06]. Más aún, un marco $A$ es espacial si y sólo si es isomorfo al marco de abiertos de algún espacio topológico.

En el estudio de los marcos asociados a módulos, resultan de interés estudiar aquellos que resulten ser espaciales. El siguiente ejemplo nos da una pauta para ver esto.

[El marco de semiprimos] Sean $R$ un anillo y $H$ un ideal propio de $R.$ Recordemos que $H$ es un ideal semiprimo de $H$ si siempre que $H\leq I^2=II$ con $I$ ideal de $R,$ se tiene que $H\leq I.$ Se puede demostrar que $H$ es un ideal semiprimo de $R$ si y sólo si es una intersección de ideales primos. Denotemos

$$ SP(R)=\{H\mid H\text{ es un ideal semiprimo de }R\}\cup\{R\}.$$

Un resultado conocido en álgebra conmutativa, que relaciona a los ideales semiprimos de $R$ y el marco $\mathcal{O}(Spec(R)),$ es el siguiente:

Sea $R$ es un anillo conmutativo, entonces $SP(R)$ es un marco. Más aún, $SP(R)\cong \mathcal{O}(Spec(R));$ donde $Spec(R)$ denota al espectro primo de $R$.

En la literatura, hay varias y diriamos que diferentes, generalizaciones de la noción de ideales (semi)primos a módulos. En este caso, resulta de interés, por ejemplo tener una versión del teorema anterior conocido para un anillo conmutativo. En investigaciones recientes, se puede encontrar generalización de este resultado. Y para ello, primero debemos mencionar producto para submódulos de un módulo dado; y después construiremos el respectivo espectro primo de un módulo $M,$ $Spec(M)$ (y que dotaremos de una topología tal que para $M=R$ coincida con la de Zariski).

[[I90]] Sea $A$ una retícula completa y $\ast:A\times A\to A$ una operación binaria asociativa. Decimos que $A$ es

un cuantal, si \begin{equation*}a\ast(\bigvee X)=\bigvee_{i\in I} \{ a\ast x_i \mid x_i\in X\} \text{ y } (\bigvee X)\ast b=\bigvee_{i\in I} \{ x_i \ast b\mid x_i\in X\}, \end{equation*}

para cada $a\in A$ y cada subconjunto $X$ de $A.$

El concepto de cuantal surgió hacia 1920, cuando W. Krull, seguido por R. P. Dilworth y M. Ward, consideraron una retícula de ideales equipados con multiplicación. El término cuantal (quantale, en inglés) fue sugerido por C. J. Mulvey, ver [KP08]. Los cuantales son considerados retículas multiplicativas completas o bien semianillos con sumas infinitarias. Notemos que estas estructuras algebraicas surgen de manera natural en el estudio de la retícula de ideales de un anillo y otros ejemplos que a continuación mencionamos:

Cualquier marco es un cuantal, donde la operación $\star$ es $\wedge.$
En particular, el marco de abiertos de un espacio topológico.
Si $R$ es un anillo, $\Lambda^{fi}(R)=Id(R)$ es un cuantal, con la multiplicación usual de ideales.

[El conjunto potencia de un semigrupo] Sea $(S, \cdot)$ un semigrupo y $\mathcal{P}(S)$ el conjuto de sus subconjuntos. Entonces $\mathcal{P}(S)$ es una retícula completa y una multiplicación puede ser definida en $\mathcal{P}(S):$ $ UV = \{u \cdot v\mid u \in U, v \in V \},$ para todo $U,V \in \mathcal{P}(S).$ El cuantal $\mathcal{P}(S)$ es commutativo (unitario) si y sólo si $S$ es conmutativo (un monoide).

[[MSZ16]] Sea $A$ una retícula completa y $\ast:A\times A\to A$ una operación binaria asociativa. Decimos que $A$ es

un casi-cuantal, si \begin{equation*} a\ast(\bigvee X)=\bigvee_{i\in I} \{ a\ast x_i \mid x_i\in X\} \text{ y } (\bigvee X)\ast b=\bigvee_{i\in I} \{ x_i \ast b\mid x_i\in X\} \end{equation*} para cada $a\in A$ y cada subconjunto dirigido $X$ de $A.$

En el artículo [MSZ16], en conjunto con M. Medina-Bárcenas y A. Zaldivar Corichi presentamos el estudio de los casi-cuantales como una generalización de la las retículas completas superiomente continuas y de los cuantales. Uno de los propósitos en [MSZ16] fue encontrar retículas con estructura multiplicativa que generalicen las propiedades de la retícula de ideales bilaterales de un anillo unitario $R$ al caso de módulos y que además nos permitan estudiar nociones similares a las de los conceptos de ideales primos, semiprimos y propiedades topológicas dde $Spec(R),$ pero ahora en el caso de los módulos.

[MSZ16] Sean $A$ un casi-cuantal y $B$ una sub $\bigvee-$semirretícula. Decimos que $B$ es un subcasicuantal de $A$ si $(\bigvee X)a=\bigvee\{xa\mid x\in X\}$ y $a(\bigvee Y)=\bigvee\{ay\mid y\in Y\}$ para todo subconjunto dirigido $X,Y\subseteq B$ y $a\in B.$

[MSZ16] Sean $A$ un casi-cuantal y $B$ subcasi-cuantales de $A.$ Un elemento $1\neq p\in A$ es un elemento primo relativo a $B$ si siempre que $ab\leq p$ con $a,b\in B,$ entonces $a\leq p $ o $b\leq p.$

Notemos que $a$ es un elemento primo en $A$ si y sólo si $a$ es un elemento primo relativo a $A.$ El espectro de $A$ relativo a $B$ es definido como \[Spec_B(A)=\{p\in A\mid p \text{ es primo relativo a }B\}.\]

Si $B=A,$ escribimos simplemente $Spec(A).$

[MSZ16] Sea $B$ un subcasicuantal de $A.$ Entonces $Spec_B(A)$ es un espacio topológico, donde los subconjuntos cerrados son subcojuntos dados por $V(b)=\{p\in Spec_B(A)\mid b\leq p\}$ con $b\in B.$ Dualmente, los subconjuntos abiertos son de la forma $U(b)=\{p\in Spec_B(A)\mid b\not\leq p\}.$

Como lo mencionado antes, $\mathcal{O}(Spec_B(A))$ es el marco de subconjuntos abiertos de $Spec_B(A).$ Tenemos una adjunción de $\bigvee-$ morfismos \[\xymatrix@=20mm{B\ \ \ar@/^/[r]^{\mathcal{U}} & \mathcal{O}(Spec_B(A))\ \ \ar@/^/[l]^{\mathcal{U}_*}}\]

con $U_{\ast}(W)=\bigvee \{b\in B\mid U(b)\subseteq W\}$

La composición $\mu=U_{\ast}\circ U:B\to B$ es un núcleo multiplicativo (es decir, $\mu$ es idempontente y $\mu(bc)=\mu(b\wedge c)=\mu(b)\wedge \mu(c).$)
Para cada $b\in B,$ $\mu(b)$ es el mayor elemento en $B$ tal que $\mu(b)\leq \bigwedge\{p\in Spec_B(A)\mid p\in V(b)\}.$
$B_{\mu}:=\{x\in B\mid \mu(x)=x \}$ es superiormente continua. Si $B$ es además un casi-cuantal tal que $(\bigvee X)a=\bigvee\{xa\mid x\in X\},$ para cualquier $X\subseteq A$ y $a\in A,$ entonces $B_{\mu}$ es un marco.

Como aplicación de esta teoría al caso de módulos, tenemos lo siguiente:

Estudio de los módulos a través de espacios topológicos asociados

Supongamos, por ejemplo, que $M$ es proyectivo en $\sigma[M],$ con el fin de que $\Lambda^{fi}(M)$ sea un subcasicuantal de $\Lambda(M),$

$$LgSpec(M):=Spec_{\Lambda^{fi}(M)}(\Lambda(M)),$$

denotará a los módulos $P\in \Lambda(M)$ que son primos relativos en $\Lambda^{fi}(M);$ y lo llamaremos el Espectro Largo de $M.$ Particularmente, $$Spec(\Lambda^{fi}(M)):=Spec_{\Lambda_{fi}(M)}(\Lambda^{fi}(M))$$

Para asegurar que estos espectros no sean vacíos, podemos suponer que $M$ es un $R-$módulo coatómico (esto es, cada submódulo propio está contenido en un submódulo máximo).

El último teorema nos permite dar una una generalización de 3.12.

Sea $M$ proyectivo en $\sigma[M]$ y coatómico. Entonces

$LgSpec(M)$ es un espacio topológico, donde los subconjuntos cerrados son subconjuntos dados por $V(L)=\{P\in LgSpec(M)\mid L\leq P \}.$
$Spec(\Lambda^{fi}(M))$ es un subespacio topológico denso de $LgSpec(M).$
Existe un núcleo multiplicativo $\mu:\Lambda^{fi}(M)\to \Lambda^{fi}(M)$ satisfaciendo que

$\mu(N)$ es el mayor submódulo totalmente invariante de $M$ contenido en $\bigcap_{P\in V(N)}P$
$\mu(N)=N$ si y sólo si $N$ es semiprimo en $M$ o $N=M.$

$(\Lambda^{fi}(M))_{\mu}=SP(M)$ es un marco, donde $SP(M):=\{N\in\Lambda^{fi}(M)\mid N\text{ es semiprimo}\}\cup\{M\}.$ Más aún, $SP(M)\cong \mathcal{O}(LgSpec(M))$ son canónicamente isomorfos como marcos.

Sea $B$ un subcasicuantal de un casicuantal $A$; y que satisface que $(\star)$. Se puede considerar una situación de adjunción más general a la mencionada previamente. Dado un subespacio $S$ de $Spec_B(A)$, tenemos la adjunción hull-kernel \[\xymatrix@=20mm{B\ \ \ar@/^/[r]^{m} & \mathcal{O}(S)\ \ \ar@/^/[l]^{m_*}}\] donde $m(b)=U(b)\cap S$. Entonces, $\tau:= m_*\circ m:B\to B$ es un núcleo multiplicativo como en el caso de $\mu$, antes mencionado.

Como aplicación de esta teoría al caso de módulos, tenemos el espacio primo de módulos obtenido en [MSZ16], utilizando para ello, el producto de submódulos definido en 1980, por L. Bican, Kepka Jambor y Nemec (en el artículo Prime and coprime modules) como una generalización al producto de ideales:

Sean $M$ un $R-$módulo izquierdo y $K,L$ submódulos de $M.$ El producto de $K$ con $L$ en $M$ se define como: \[K_ML:=\sum\{f(K)\mid f\in Hom_R(M,L)\}.\]

Sea $M\in\RMod$ y $M\neq P\in\Lambda^{fi}(M).$ Decimos que $P$ es un submódulo primo en $M$ si para cualesquiera submódulos totalmente invariantes $K$ y $L$ de $M$ tales que $K_ML\leq P,$ entonces $K\leq P$ o $L\leq P.$

Ahora bien, recordemos que en el caso de los ideales de un anillo, el producto satisface algunas propiedades, tales como la asociatividad. Sin embargo, en el caso de módulos, el producto de submódulo en un módulo dado, $-_M-$, no necesariamente es asociativo. Para ello, se requieren condiciones extra, tales como que $M$ sea proyectivo en $\sigma[M],$ con el fin de que $\Lambda_{fi}(M)$ sea un subcasicuantal de $\Lambda(M).$

Sea $M$ un módulo tal que $\Lambda(M)$ es un cuantal, tiene submódulos máximos y cada submódulo está contenido en un máximo. Entonces,

$LgSpec(M):=Spec_{\Lambda_{fi}(M)}(\Lambda(M))$ es un espacio topológico, donde los subconjuntos cerrados son subconjuntos dados por $V(L)=\{P\in LgSpec(M)\mid L\leq P \}.$
$Spec(\Lambda_{fi}(M)):= Spec_{\Lambda_{fi}(M)}(\Lambda_{fi}(M))$ es un subespacio topológico denso de $LgSpec(M).$
Existe un núcleo multiplicativo $\mu:\Lambda_{fi}(M)\to \Lambda_{fi}(M)$ satisfaciendo que

$\mu(N)$ es el mayor submódulo totalmente invariante de $M$ contenido en $\bigcap_{P\in V(N)}P$
$\mu(N)=N$ si y sólo si $N$ es semiprimo en $M$ o $N=M.$

$(\Lambda_{fi}(M))_{\mu}=SP(M)$ es un marco, donde $SP(M):=\{N\in\Lambda_{fi}(M)\mid N\text{ es semiprimo}\}\cup\{M\}.$ Más aún, $SP(M)\cong \mathcal{O}(LgSpec(M))$ son canónicamente isomorfos como marcos.

Finalmente, notemos que con las condiciones adecuadas, dado un objeto en una categoría abeliana de Grothendieck, podemos estudiar como asociarle un espacio topológico, con topologías tales como una análoga a la de Zariski (hull-kernel topology).

Referencias

AF12: F. W. Anderson y K.R. Fuller Rings and Categories of Modules Springer Science Business Media 2012.
Alb14: T. Albu Topics in Lattice Theory with Applications to Rings 2014.
ARR10: A. Alvarado, H. Rincón y J. Ríos On Big lattices of classes of R-modules defined by closure properties Advances in Ring Theory, Trends in Mathematics (2010), 19-36.
Bir38: G. Birkhoff Lattices and their applications Bulletin of the American Mathematical Society 44 (1938), 793-800.
Bor94: F. Borceux Handbook of Categorial Algebra. Vol. 1. Basic Category Theory Cambridge University Press 1994.
Gol86: J. Golan Torsion Theories Longman Scientific $\And$ Technical 1986.
Grä11: G. Grätzer Lattice theory: Foundation Springer Basel 2011.
GSW05: B. Ganter, G. Stumme y R. Wille Formal Concept Analysis: Foundations and Applications Springer Science y Business Media 2005.
I90: K. I Rosenthal, Quantales and their applications 1990.
Joh92: P. Johnstone Stone Spaces 1992.
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Martha Lizbeth Shaid Sandoval-Miranda

Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa

marlisha@xanum.uam.mx