Artículos panorámicos

La topología diferencial

Fotografía: Gabriela Artigas/IMUNAM
Santiago López de Medrano
$ \newcommand{\sen}{\mathop{\rm sen}} $ $ \newcommand{\disc}{\mathop{\rm disc}} $ $ \newcommand{\id}{\operatorname{id}} $ $ \newcommand{\Int}{\mathop{\rm int}} $ $ \newcommand{\sop}{\mathop{\rm sop}} $ $ \newcommand{\vol}{\mathop{\rm vol}\nolimits} $ $ \newcommand{\dist}{\mathop{\rm dist}} $ $ \newcommand{\graf}{\mathop{\rm graf}} $ $ \newcommand{\loc}{\mathop{\rm loc}} $ $ \newcommand{\lin}{\mathop{\rm lin}} $ $ \newcommand{\undercbrace}{\underbrace} $ $ \newcommand{\menorque}{\mathrel{<}}$ $ \newcommand{\mayorque}{\mathrel{>}}$ $\newcommand{\C}{{\bf C}}$ $\newcommand{\im}{\mathop{\rm Im}}$ $\newcommand{\K}{{\bf K}}$ $\newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker}}$ $\newcommand{\N}{{\bf N}}$ $\newcommand{\proj}{{\bf P}}$ $\newcommand{\Proj}{\mathop{\rm Proj}}$ $\newcommand{\PP}{{\mathcal P}}$ $\newcommand{\pr}{{\rm pr}}$ $\newcommand{\rr}{{\mathcal R}}$ $\newcommand{\R}{{\mathbb R}}$ $\newcommand{\T}{{\bf T}}$ $\newcommand{\U}{{\mathcal U}}$ $\newcommand{\Z}{{\bf Z}}$ $\newcommand{\gl}{{\bf gl}}$ $\newcommand{\GL}{{\bf GL}}$ $\newcommand{\Id}{{\rm Id}}$ $def\d{{\partial}}$ $\newcommand{\FI}{\varphi}$ $\newcommand{\eps}{\varepsilon}$

En una primera aproximación, la topología diferencial es el estudio de las propiedades topológicas de algunos espacios y funciones mediante los conceptos y las técnicas del Cálculo Diferencial e Integral.

Entre estos espacios se contarían todos los subconjuntos de $\R^n$: Si $X \subset \R^n $ y $Y\subset \R^m $ tiene sentido hablar de una función diferenciable $f : X \rightarrow Y$ como una que se pueda extender a una función diferenciable de $U$ en $\R^m $, donde $U$ es alguna vecindad abierta de $X$ en $\R^n$. Entonces se dice que $f$ es un difeomorfismo si $f$ es un homeomorfismo y tanto $f$ como su inverso son diferenciables y una buena parte del objetivo de la Topología Diferencial consiste en determinar si dos conjuntos son difeomorfos o no.

Un primer ejemplo sería el siguiente: en la figura vemos una deltoide inscrita en un círculo:

El círculo y la deltoide son homeomorfos: la proyección radial de uno en el otro nos da un homeomorfismo. Pero no es un difeomorfismo: la proyección radial de la deltoide en el círculo es diferenciable, por ser la restricción de la misma proyección definida en todo el complemento del origen. Pero la proyección radial del círculo en la deltoide no lo es, el problema claramente está en los picos de la deltoide: en esos puntos la derivada de una extensión diferenciable a un abierto debería claramente enviar el vector tangente al círculo en un vector radial (de hecho, sería nulo). Pero entonces, la derivada de la proyección en el círculo debería enviar ese vector radial en el $0$. Esto contradice el hecho de que la composición de ambas proyecciones debe ser la identidad en el círculo. Lo mismo ocurriría para cualquier otro homeomorfismo diferenciable de la deltoide en el círculo

También es posible dar un homeomorfismo diferenciable del círculo en la deltoide reparametrizando el círculo para que al pasar por los picos lo haga con velocidad $0$. Pero entonces el inverso no puede ser diferenciable. En resumen, por tener tres picos, la deltoide no es difeomorfa al liso círculo. En cambio es fácil ver que dos curvas cerradas simples lisas son difeomorfas: cualquiera es difeomorfa a un círculo de su longitud mediante la parametrización por longitud de arco.

Entonces cabe la pregunta: si dos conjuntos lisos son homeomorfos, ¿serán también difeomorfos? Habría que hacer una búsqueda bibliográfica para ver quién planteó por primera vez esta pregunta. Pero para dar una idea de la respuesta necesitamos recorrer muchas décadas de la historia de la topología de las variedades diferenciables, una historia repleta de sorpresas.

Este recorrido no se detendrá en detalles históricos ni en los detalles de las demostraciones, sino que tratará de dar una idea de los grandes pasos que se dieron y las sorpresas que representaron. Esto seguramente conllevará algunas injusticias e imprecisiones cronológicas y matemáticas. El lector interesado en la historia detallada o en las demostraciones completas deberá consultar otros textos.

Primeros pasos

Los objetos geométricos más estudiados por la Topología Diferencial son las variedades diferenciables o lisas, que aparecen naturalmente como las curvas y superficies lisas de la Geometría Diferencial o de la Geometría Proyectiva o como las superficies de nivel de funciones diferenciables entre espacios euclideanos de cualquier dimensión (por ejemplo en cuestiones de mecánica de varios cuerpos en $\R^3$). Pero también como construcciones abstractas como lo son las superficies de Riemann. También se estudian las variedades con frontera y las singulares como las que aparecen en la Geometría Algebraica (como la deltoide) o las singularidades de las funciones entre variedades lisas.

El primer estudio topológico de las variedades es precisamente el de las superficies de Riemann. En el siglo XIX Riemann y otros matemáticos fueron descubriendo que la mejor manera de entender ciertas funciones complejas multivaluadas era el de pensarlas como funciones definidas en otras superficies construidas a su medida. Esto llevó a descubrir el género de las superficies compactas conexas, que a la vez que era importante para entender el análisis complejo sobre ellas, resultaba ser un invariante topológico que las clasificaba. Así, todas las superficies compactas orientables quedaban enlistadas (y las no orientables seguirían poco después): la esfera (de género 0), el toro (de género 1), el doble toro (de género 2) y así sucesivamente.

Todas ellas son variedades diferenciables, aunque el énfasis en ese momento estaba en verlas como variedades analíticas complejas, cuya clasificación es mucho más fina: además del género se necesitan agregar otros invariantes que son colecciones de números complejos (además reducidos por la acción de un cierto grupo) llamados moduli. Ante esto, la distinción entre equivalencia topológica y equivalencia diferenciable carecía de importancia y tuvo que pasar algún tiempo antes que alguien hiciera notar que en el caso de las superficies compactas no había realmente ninguna distinción.

Henri Poincaré

Los siguientes pasos se deben a Poincaré: a principios del siglo XX sus trabajos en Mecánica Celeste y en otras acciones complejas de grupos le fueron llevando a plantear problemas topológicos. Por un lado buscó la forma de extender el concepto de género a espacios de mayor dimensión. Para un espacio $X$ representó los hoyos de mayor dimensión mediante clases de subvariedades lisas de $X$ bajo una relación de homología entre ellas, método que se enfrentó a varios problemas. Después Poincaré optó por definir la homología triangulando el espacio y definiendo la homología mediante cadenas de los triángulos de diferentes dimensiones iniciando así la Topología Combinatoria. Se hizo a un lado así una formulación geométrica y diferenciable de la homología de los espacios para dar lugar a una teoría combinatoria y algebraica, uno de cuyos primeros frutos fue la demostración de la Dualidad de Poincaré. Esta teoría, a pesar de muchos problemas iniciales de fundamentación, produjo grandes avances en las décadas siguientes.

Otro intento de Poincaré que dejó huella fue el de clasificar las variedades compactas, conexas de dimensión 3, cuyo primer caso sería el de reconocer a la esfera de dimensión 3. Ésta, al igual que la de dimensión 2, quedaría caracterizada por ser la que no tiene homología. Después se dió cuenta de que esto no era suficiente, sino que se requería que la variedad fuera simplemente conexa y planteó que esto ya sería suficiente. Esta Conjetura de Poincaré, como todos sabemos, tardó un siglo en ser demostrada después de muchos intentos fallidos por muchos topólogos. ¡Tras la clasificación completa de las variedades de dimensión 2, el de las de dimensión 3 tardó cien años en dar su primer paso!

Una consecuencia de esto: Poincaré define el grupo fundamental. ¡Un grupo asociado a un espacio! ¡Nace la Topología Algebraica!

Durante las décadas siguientes habrá un desarrollo enorme de estas ideas: desarrollo de la Topología Algebraica (el concepto de homotopía y equivalencia homotópica, demostración de la invariancia homotópica de los grupos de homología) y de la Topología Diferencial (concepto abstracto de variedad diferenciable como espacio con una cubierta de cartas euclideanas relacionadas diferenciablemente, sus haces tangentes y sus campos vectoriales...)

Hassler Whitney

Basado en los desarrollos anteriores, Whitney hizo numerosas contribuciones sobre los anillos de cohomología, la topología de los haces fibrados y sus clases características, todos ellos temas importantes para la Topología Diferencial. Con su Teorema de Encaje, Whitney mostró que cualquier variedad diferenciable de acuerdo a la definición abstracta (con hipótesis topológicas mínimas) se puede encajar, es decir, realizar como una subvariedad del espacio euclideano, por lo cual coinciden la definición abstracta y la concreta como subconjunto de algún $\R^{m}$. La primera versión dice que una variedad de dimensión $n$ se puede encajar en $\R^{2n+1}$. Pero pronto mejoró el resultado: se puede encajar incluso en $\R^{2n}$. Pareciera que sólo es un pequeño detalle pero hay una diferencia fundamental que trataremos de explicar viendo un problema parecido: en lugar de buscar que una variedad no se corte a sí misma pensemos en el problema de separar dos variedades dentro de otra.

Consideremos dos curvas en $\R^3$; si de casualidad tienen punto en común, se ve fácilmente que basta una pequeña deformación de una de ellas para separarlas. Igualmente, dos variedades compactas $X$ y $Y$ de la misma dimensión $n$ en $R^N$ con $N \ge 2n+1$ pueden separarse una de la otra mediante una deformación arbitrariamente pequeña.

En $R^{2n}$ la situación es diferente: Tomemos dos círculos de un radio muy grande en $\R^2$ que se cortan en dos puntos muy separados. Si en $\R^3$ se pueden separar con sólo levantar un poco una de ellas en la tercera dimensión, en $\R^2$ se necesita un desplazamiento muy grande de uno de los círculos hasta que se separe del otro. El desplazamiento se hará barriendo el disco ojival de color crema que ambos rodean.

Para separar dos variedades $X$ y $Y$ de dimensión $n$ dentro de una variedad $Z$ de dimensión $2n$ se puede copiar el método: tomamos un par de puntos de intersección y dos curvas que los unan, una dentro de $X$ y otra dentro de $Y$ y tratemos de construir el disco ojival metido en $Z$ cuya frontera sean las dos curvas y que no toque a las variedades $X$ y $Y$ más que en su frontera. Si logramos todo esto, se pueden eliminar los dos puntos de intersección deformando una sobre el disco ojival hasta separarlas.

Bajo las hipótesis topológicas adecuadas se puede lograr casi todo esto: suponer que hay un número par de puntos de intersección, para cada dos de ellos encontrar las curvas simples que los unen, uno en cada variedad y suponer que la curva cerrada formada por ellas se puede contraer a un punto por fuera de $X$ y de $Y$. Esa contracción nos da un disco, el único problema es que ese disco se puede cortar a sí mismo y necesitamos el disco sin intersecciones para desplazar una variedad hasta eliminar los dos puntos de intersección.

Si $n\mayorque 2$, tenemos un disco de dimensión 2 dentro de una variedad de dimensión por lo menos 6. Entonces podemos eliminar sus puntos de auto-intersección mediante una pequeña perturbación, obtener un disco bien encajado y eliminar ese par de puntos de intersección de $X$ y $Y$. Haciendo lo mismo sucesivamente con las otras parejas acabamos separando a $X$ de $Y$.

Pero cuando $n=2$, caemos en un círculo vicioso: las auto-intersecciones del disco de dimensión 2 en la variedad $Z$ de dimensión 4, no las podemos desaparecer con una pequeña deformación sino que tenemos que agruparlas de dos en dos y para cada par construir otro disco de dimensión 2 que a su vez puede tener auto-intersecciones que hay que eliminar...

Esto no afecta el teorema de encaje en $\R^{2n}$ porque en dimensión 2 conocemos todas las superficies (orientables o no) y se sabe que todas se pueden encajar en $\R^4$. Pero para separar dos variedades de dimensión 2 en una de dimensión 4, esta dificultad es esencial y no se le puede dar la vuelta con un truco diferente. Veremos más tarde las repercusiones de esto.

Otros trabajos importantes de Whitney abren el campo de la Topología Diferencial para incluir objetos singulares: variedades (como las algebraicas) y funciones entre variedades lisas (extendiendo los trabajos de Morse). La definición de los espacios estratificados y de las condiciones que deben cumplir para abordar estas cuestiones, tendrá muchísimas consecuencias en diversas ramas de las Matemáticas.

René Thom

La entrada de René Thom en la Topología Diferencial la transtornará profundamente en muchos de sus aspectos: primero con el estudio de los espacios fibrados en conjunción con las operaciones cohomológicas de Steenrod, lo que le permitió resolver varios problemas clásicos y sobre todo uno que no lo era tanto: el de la clasificación de todas las variedades bajo la relación de cobordismo, aspecto que describimos a continuación para después repasar brevemente muchas otras contribuciones posteriores.

Se dice que dos variedades diferenciables compactas $X,Y$ de dimensión $n$ son cobordantes si existe una variedad compacta $W$ cuya frontera es la unión ajena de ellas (hay dos versiones de la teoría según se pida o no que las variedades estén orientadas, pero no nos fijaremos en esto).

Thom logró reducir el problema a un problema de homotopía de ciertos espacios y después resolver este último, lo cual es un hecho notable en sí mismo porque pocos son los espacios para los que se ha logrado un resultado tan completo. ¡La audacia es premiada por la suerte!

Entonces, así como en el siglo XIX se clasificaron las superficies lisas compactas se tenía ahora una cierta clasificación de todas las variedades de todas las dimensiones. Pero, ¿qué tan fina es esta clasificación?

Comparemos con las de dimensión 2, donde hemos visto la lista de las orientables. Pues la esfera es la frontera de una bola, el toro es la frontera de un toro sólido, etc. Esto quiere decir que todas son cobordantes entre sí: si al toro sólido le quitamos una pequeña bola en su interior obtenemos la variedad $W$ de la definición de la relación de cobordismo, el toro y la esfera son cobordantes. Y así para el resto. Bueno, pues el mayor éxito de la Topología en el siglo XIX queda ignorado por esta teoría, ¡todas las variedades de dimensión 2 quedan identificadas!

¿Y las de dimensión 3, que estaban lejísimos de ser clasificadas? ¿Ayuda en algo el cobordismo en su clasificación? Pues Pontryagin y Rokhlin habían ya demostrado que toda variedad orientable de dimensión 3 es frontera de una de dimensión 4. Luego todas son cobordantes entre sí. Respecto a la clasificación topológica de las de dimensión 3 esta teoría no nos dice nada. La conjetura de Poincaré queda superada, cualquier variedad orientable es equivalente a la esfera. ¿No será entonces una clasificación demasiado burda?

No, la clasificación de todas las variedades bajo cobordismo tuvo rápidamente unas implicaciones espectaculares a partir de un hecho: si tenemos una clasificación completa en base a ciertos invariantes, cualquier otro invariante de cobordismo se podrá expresar en términos de los primeros: Así aparecen relaciones insospechadas entre esos invariantes, relaciones válidas para cualquier variedad. Relaciones de este tipo fueron dadas en forma explícitadas por Hirzebruch poco después del resultado de Thom.

Describiremos una primera consecuencia debida a Milnor: las esferas exóticas: Milnor ya había estudiado unas variedades de dimensión $8$ cuyas fronteras eran homeomorfas a las esferas de dimensión $7$. Al pegarles un disco de dimensión 8 en su frontera se obtenía una variedad sin frontera que no cumplía con la relación general entre sus invariantes de cobordismo. Ante esta aparente contradicción, Milnor se vió obligado a aceptar la única salida posible: esas fronteras eran homeomorfas a la esfera de dimensión 7, pero no eran difeomorfas a ella. Los invariantes de cobordismo permitieron así detectar $28$ variedades homeomorfas a la esfera pero no difeomorfas entre sí. ¡La clasificación topológica de las variedades diferenciables es diferente a su clasificación diferenciable! ¡La supuestamente burda clasificación por cobordismo tiene como consecuencia la sutil distinción entre estas esferas que además, quitándoles un punto se vuelven todas difeomorfas!

No podemos detallar en este espacio las numerosas consecuencias del cobordismo y sus extensiones a la Topología Diferencial pero también a la Algebraica (en particular realizando el sueño de Poincaré de definir una homología geométrica), en la Geometría Algebraica y hasta en el Análisis de Operadores Diferenciales en variedades. Pasemos a otros temas.

Otras ideas de Thom trascendentales fueron la de hacer una descomposición geométrica de una variedad compacta a partir del flujo de un campo gradiente sobre ella y la de definir una nueva relación entre variedades (hoy conocida como h-cobordismo) y conjeturar que esta relación implica difeomorfismo. Con estas ideas Smale se lanza a una audaz de aventura: ¡probar el análogo de la conjetura de Poincaré para todas las dimensiones! Y casi lo logra: prueba que toda variedad simplemente conexa que tenga la misma homología de la esfera de dimensión $n$ es homeomorfa a ella, para toda $n\mayorque 4$. El primer paso que quiso hacer Poincaré se puede resolver, pero no en dimensión 3 sino ¡de la dimensión 5 en adelante! La demostración usa el truco de Whitney para separa variedades y simplificar la descomposición geométrica de Thom de una variedad con frontera. Falla en dimensiones bajas debido al círculo vicioso que se describió en la sección anterior.

Otra sugerencia de Thom transformó una vez más la Topología Diferencial: la cirugía de variedades, desarrollada por Milnor. Esta idea, combinada con el Teorema de h-cobordismo, le permitió avanzar, junto con Kervaire, en el problema general de las esferas exóticas, reduciéndolo, en gran medida, al problema de la homotopía de las esferas. Nuestro conocimiento parcial sobre este dificilísimo problema permite afirmar que, en dimensión mayor que $7$, la existencia de esferas exóticas no es la excepción sino la regla (ver también el final de la sección 5). El método de la cirugía, generalizado por Browder, Novikov, Sullivan y Wall, ha permitido resolver en forma análoga muchísimos problemas de clasificación de variedades en dimensiones de $5$ en adelante.

Thom también transformó totalmente el estudio local y global de las singularidades de funciones y de los espacios estratificados, introduciendo muchas ideas nuevas. Entre ellas cabe sólo destacar ahora el concepto de transversalidad que ya es parte del inconsciente colectivo dentro de las más diversas ramas de las Matemáticas. Para no hablar de la muy discutida Teoría de Catástrofes, que algunos consideramos que tiene todavía mucho que decir sobre los problemas de las más diversas disciplinas científicas.

Resultados posteriores

En el desarrollo posterior de la Topología Diferencial ha habido también numerosas sorpresas, que sólo puedo describir brevemente dado mi conocimiento superficial de ellas:

Casson ideó una manera de salir del círculo vicioso de Whitney escapándose hacia adelante: iterando el método una infinidad de veces se puede llegar al final a obtener un disco topológico sin auto-intersecciones. Éste sería un disco de los llamados salvajes con conjuntos de Cantor donde no son diferenciables. Sin embargo Michael Freedman supo como utilizar esta idea para demostrar la conjetura de Poincaré topológica en dimensión cuatro, de hecho, para clasificar todas las variedades topológicas de esa dimensión. En cierto sentido, la idea consiste en realizar ese mismo disco salvaje dentro de la esfera estándar. La versión diferenciable aún no se ha demostrado. Pudiera haber esferas exóticas de dimensión $4$, lo cual es bien factible dadas las rarezas de esta dimensión.

En efecto, a partir de los trabajos de Donaldson sobre las ecuaciones de Yang-Mills de la Física Teórica en variedades de dimensión cuatro se ha visto que prácticamente todo lo que sabemos en dimensiones superiores falla en forma dramática: el número de variedades diferenciables es más reducido que el de las topológicas, pero su clasificación mucho más complicada Esto significa que el círculo vicioso de Whitney es efectivamente imposible de romper. Entre muchas otras rarezas se tiene que en dimensión cuatro hay espacios euclideanos exóticos (de hecho, una cantidad no numerable de ellos), cosa que no sucede en ninguna otra dimensión. Este enfoque también ha tenido mucho impacto en la teoría de las variedades de dimensión 3 y en la Teoría de Nudos.

Luego está el gran avance en la dimensión tres: después de un siglo de trabajos sobre estas variedades que culminó con las ideas de Thurston, finalmente Perelman demostró la conjetura de Poincaré. La sorpresa se ve aumentada por el hecho de que los métodos de la demostración se derivan de la Geometría Riemanniana. También resuelve una conjetura geométrica más general de Thurston y junto con la solución reciente de otros problemas que éste planteó se puede decir que se tiene un conocimiento bastante completo de las variedades de dimensión tres.

Finalmente, en dimensiones mayores, el avance más significativo ha sido la reciente solución (debida a Hill, Hopkins y Ravenel en base a una reformulación homotópica de Browder) de la conjetura de Kervaire en todas las dimensiones salvo en la dimensión 126. Esto mejora nuestra comprensión de la relación entre las esferas exóticas y los grupos de homotopía de esferas: excepto en las dimensiones 2, 6, 14, 30, 62 y quizás 126, toda la homotopía estable de las esferas está representada por esferas exóticas.

La pregunta ahora es, habiéndose aclarado tantas cosas, ¿será posible que el estudio de las variedades lisas nos tenga reservadas aún algunas sorpresas?

Esperemos que sí.

Bibliografía

[1] V. Guillemin y A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall. 1974. Versión en español, Sociedad Matemática Mexicana, traducción de Oscar Palmas, 2003.
[2] J.W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press, 1965. (Introducción elemental).
[3] J.W. Milnor, Differential Topology, notas por J. Munkres. http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/difftop.pdf (Un curso introductorio muy completo).
[4] J.W. Milnor, Classification of $(n−1)$-connected $2n$-dimensional manifolds and the discovery of exotic spheres. En Surveys on surgery theory, Vol. 1 Ann. of Math. Stud., 145, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2000, pp. 25–30.
(Historia del descubrimiento de las esferas exóticas. Ver también http://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01503-X/S0273-0979-2015-01503-X.pdf)
[5] René Thom (1923-2002), C. Anné, M. Chaperon, A. Chenciner (eds.), Gazette des mathématiciens, Édition spéciale (2004) supplément au numéro 103 (janvier 2005).
Santiago López de Medrano
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM)
Motivos Matemáticos es una publicación electrónica del Instituto de Matemáticas, UNAM
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