Si uno piensa a la teoría de invariantes como la formulación matemática de la noción de simetría, la aparición de ésta en campos alejados de la matemática sólo enfatiza su importancia. En su formulación más general la teoría de invariantes considera una familia de objetos ${\cal F}$ junto con una relación de equivalencia y una función $f$ que asocia a cada objeto de ${\cal F}$ un elemento de otro conjunto se dice que es un invariante de ${\cal F}$ si $f$ es constante en cada clase de equivalencia de ${\cal F}$. El objetivo central de la teoría de invariantes es construir un sistema completo de invariantes Por definición, si $f$ toma valores distintos en dos objetos de ${\cal F}$, entonces los objetos dados no son equivalentes. Por otro lado, puede suceder que $f$ satisfaga que $f(A)=f(B)$ sin que $A$ y $B$ sean equivalentes, en cuyo caso se dice que el sistema de invariantes $f$ no es completo.) para el problema de clasificación dado. Una formulación tan general de este objetivo lo hace inalcanzable y uno debe conformarse con sistemas de invariantes no completos y en ambientes más concretos para la formulación del problema de clasificación dado.
Quizá el problema de invariantes más antiguo en álgebra considera la acción de un grupo $G$ en un anillo de polinomios $k[x_1,\ldots,x_n]$, sobre un campo $k$. Concretamente, se considera la acción de un grupo algebraico lineal, esto es un subgrupo del grupo lineal general de matrices invertibles $\text{GL}_n$ sobre el campo $k$, y para evitar complicaciones aritméticas se considera primero el caso cuando el campo $k$ es algebraicamente cerrado. Formulado en forma equivalente, lo que interesa son acciones de grupos algebraicos afines $G$ en el anillo de coordenadas $k[X]$ de variedades algebraicas afines $X$ sobre el campo dado y que provienen de una acción regular de $G$ sobre la variedad $X$. El invariante principal, en este caso, es el subanillo de funciones que son fijas bajo la acción de todos los elementos del grupo $G$: $$k[X]^G=\{f\in k[X]: \sigma\cdot f=f\;\text{para todo $\sigma\in G$}\}.$$ Hay varios problemas asociados a encontrar el anillo de invariantes $k[X]^G$, y uno de los más importantes es encontrar generadores para este anillo visto como $k$-álgebra. Por supuesto que uno debe responder primero a la cuestión de cuándo esta $k$-álgebra es finitamente generada.
Desde el principio, la teoría de invariantes ha tenido que lidiar con dos aspectos básicos de la matemática: avances teóricos abstractos y desarrollos algorítmicos prácticos. Los pioneros de la teoría de invariantes en el siglo xix, Cayley, Sylvester, Gordan, Clebsch, Aronhold, y Cremona, fueron maestros en la formulación constructiva de la teoría de invariantes, buscando algoritmos para calcular generadores para $k[X]^G$, en el caso de grupos clásicos. Este período clásico de la teoría de invariantes tuvo un fin temprano cuando Hilbert dio una demostración no constructiva de la generación finita del anillo de invariantes en el caso de grupos clásicos. La reacción bien conocida de Gordan criticando el método de Hilbert fue respondida, casi inmediatamente, con una demostración constructiva, también de Hilbert, para encontrar todos los invariantes de los grupos lineales general y especial.
Después de estos desarrollos, la teoría de invariantes entró en un período de hibernación, pero los métodos matemáticos que se desarrollaron alrededor de estos problemas clásicos pronto encontraron terreno fértil en la algebrización de la geometría en el siglo xx, y hacia la segunda mitad de este siglo la teoría de invariantes regresó, ahora con una formulación álgebro-geométrica, en las manos de D. Mumford y la escuela de Grothendieck: la teoría de invariantes geométrica busca variedades algebraicas $Y$ (esquemas, espacios algebraicos o pilas, en formulaciones más generales) que realicen el anillo de invariantes $k[X]^G$ como el anillo de coordenadas $k[Y]$ de $Y$.
Más aún, en este mismo período, y en forma casi paralela, se desarrollaron herramientas computacionales poderosas para encontrar generadores, y relaciones entre ellos, de anillos de invariantes. Muchos de estos métodos se basan en el algoritmo de Buchberger para determinar bases de Gröbner de estas álgebras. La teoría de invariantes se desarrolla ahora, tanto en el ambiente abstracto como en la versión constructiva, con una interacción saludable entre ambos enfoques.
Como el título lo delata, el libro que estamos reseñando está dedicado al enfoque constructivo, algorítmico, de la teoría de invariantes. A pesar de que hay varias monografías dedicadas a la teoría de invariantes, la mayoría de ellas, por ejemplo [1], [2], [3], [4], toman el enfoque abstracto, y quizá la única que considera el enfoque algorítmico es [5].
El contenido del libro que estamos reseñando se puede dividir en tres partes. En la primera parte, que contiene material introductorio, el capítulo 1 repasa los fundamentos de bases de Gröbner y algoritmos para construirlas. El capítulo 2 resume los hechos básicos de la teoría de invariantes sobre un campo algebraicamente cerrado: desde anillos de invariantes y grupos reductivos hasta cocientes categóricos y series de Hilbert de anillos de invariantes. La segunda parte del libro, que incluye los capítulos 3 y 4 para un total de casi 200 páginas, constituye el corazón de la monografía. El capítulo 3 trata la teoría de invariantes de grupos finitos, donde el objetivo es el cálculo de conjuntos finitos de generadores para el anillo de invariantes, y es importante señalar que se consideran tanto el caso modular como el ordinario. También, como el enfoque es, principalmente, constructivo, para las implementaciones de los algoritmos de la teoría de invariantes discutidos en este capítulo, los sistemas computacionales singular y magma son altamente recomendados, ya que ambos paquetes contienen bibliotecas dedicadas a la teoría de invariantes.
La tercera parte del libro, el capítulo 5, es una mezcla de pequeños panoramas de aplicaciones de la teoría de invariantes: desde el cálculo de anillos de cohomología de grupos finitos o el cálculo de grupos de Galois, hasta combinatoria y visión por computadora.
El libro tiene tres apéndices: el primero da un repaso rápido de los resultados de grupos algebraicos lineales que se usan en el texto. El segundo, por V. Popov, discute algoritmos para decidir cuándo una órbita está contenida en la cerradura de otra. El tercer apéndice, también por V. Popov, se enfoca a la estratificación del cono de anulación, e incluye el código fuente para un programa computacional que calcula esta estratificación.
A pesar de que el libro reseñado es una monografía, ahora en su segunda edición, está tan bien estructurado que se puede leer por cualquier persona interesada y con una formación básica en grupos algebraicos. El tema, como se ha bosquejado en los párrafos iniciales, es clásico, con una historia, casi romántica, de períodos de estancamiento o hibernación, para luego renacer como el ave fénix mítica.
