A menos de una década de haber sido anunciado [Sch11], por el entonces estudiante de doctorado Peter Scholze, el concepto de perfectoide ha transformado completamente la forma de pensar en geometría aritmética y sus áreas vecinas. El objetivo de este artículo es intentar explicar de manera intuitiva, y un tanto informal, dicho concepto. Nuestras principales referencias son los trabajos de Bhargav Bhatt [Bha14], Michael Harris [Ha17] y Peter Scholze [Sch12a] [Sch12b] [Sch14].
Palabras claves: campos no arquimedianos, campos perfectos, campos perfectoides, espacios perfectoides, geometría analítica rígida.
Sea $K$ un campo y consideremos el morfismo de anillos $f: \Z \rightarrow K$ natural. Como la imagen de $f$ es un dominio entero, el núcleo de $f$ es un ideal primo de $\Z$, luego este es $(0)$ o $(p)$ para algún primo $p$. En el primer caso, i. e. cuando $\ker(f) =(0)$, tenemos que $f$ es inyectivo, por lo que podemos pensar a $\Z$ como un subanillo de $K$. En particular, como cada elemento de $K$ distinto de $0$ es invertible, tiene sentido hablar de $a/b \in K$ para $a,b\in \Z$ con $a \neq 0$. Por lo tanto, también podemos pensar a $\Q$ como un subcampo de $K$, el cual es el subcampo mínimo de $K$. Por otro lado, si $\ker(f) =(p)$, se puede ver fácilmente que el subcampo mínimo de $K$ en este caso es $\Z/(p) = \F_p$. Razonando de esta manera, podemos clasificar a los campos de acuerdo con el subcampo mínimo que contienen. Diremos que $K$ tiene característica $0$ si su subcampo mínimo es $\Q$, y que tiene característica positiva $p$ si su subcampo mínimo es $\F_p$ para algún primo $p$. Los campos: $\Q$, $\R$, $\C$ y $\Q_p$ (números $p$-ádicos) son ejemplos de campos de característica 0, mientras que los campos: $\F_p$, $\F_p(t)$ (funciones racionales en una variable sobre $\F_{p}$) y $\F_q((t))$ (series formales de Laurent con coeficientes en $\F_p$) son ejemplos de campos de característica positiva $p$.
A pesar de la gran cantidad de analogías que hay entre campos de característica positiva y campos de característica 0, hay también profundas diferencias entre ellos. Por ejemplo, en un campo $K$ de característica $p$, el morfismo de Frobenius $\varphi_p$ que envía a cada elemento $a$ de $K$ a su $p$-ésima potencia $a^p$ es un morfismo de anillos, mientras que en característica $0$ esto no sucede. Dicha diferencia ocurre debido a que en característica $p$ tenemos la siguiente igualdad fundamental:
\[ \varphi_p(a+b) = (a +b)^p = a^p + b^p = \varphi_p(a) + \varphi_p(b), \]que se sigue de la fórmula del binomio aplicada a $(a+b)^p$, ya que todos los coeficientes intermedios de dicho polinomio son divisibles por $p$. Por otro lado, a diferencia del caso de característica 0, en un campo de característica $p$ polinomios de grado positivo pueden tener derivada 0, v. gr. si $f(X) = X^p$ entonces $f'(X) = pX^{p-1} = 0$.
Otra gran diferencia entre los campos de característica 0 y los campos de característica $p$, tiene que ver con el concepto de perfección. Recordemos que un campo $K$ es perfecto si todas sus extensiones algebraicas son separables. Los campos perfectos son importantes en la teoría de Galois debido a que varios resultados sustanciales como el teorema del elemento primitivo y el teorema fundamental de la teoría de Galois utilizan en su demostración el hecho de que la extensión considerada sea separable. Otra propiedad importante de los campos perfectos es que estos siempre admiten vectores de Witt, lo cual resulta muy útil a la hora de hacer teoría de números. Todo campo de característica 0 es un campo perfecto, sin embargo, en característica $p$ existen campos que no son perfectos, por ejemplo, $\F_p(t)$ y $\F_p((t))$, la prueba de que no son perfectos se sigue fácilmente del hecho que en característica $p$ ser perfecto es equivalente a que el morfismo de Frobenius $\varphi_p$ sea suprayectivo, en otras palabras, en característica $p$, $K$ es perfecto si cada elemento de $K$ tiene raíces $p$-ésimas (y por lo tanto raíces $p^n$-ésimas para todo $n$).
Una manera de remediar el problema de la perfección en característica positiva (al menos en la teoría de Galois) es aprovechar el hecho de que para cada campo $K$ de característica positiva existe una única extensión puramente inseparable $K^{\perf}$ de $K$ (salvo isomorfismo) la cual es perfecta. Dicha extensión es conocida como la cerradura perfecta de $K$. Por ejemplo, la cerradura perfecta de $\F_p((t))$ puede construirse adjuntando todas las raíces $p^n$-ésimas de la variable $t$ a $\F_p((t))$ como sigue:
\[ \F_p((t))^{\perf} = \F_p((t))(t^{1/p^{\infty}}) := \bigcup_n \F_p((t))(t^{1/p^{n}}). \]En particular, como $\F_p((t))(t^{1/p^{\infty}})$ es puramente inseparable, tenemos el siguiente isomorfismo de grupos de Galois absolutos:
\[ G_{\F_p((t))(t^{1/p^{\infty}})} \cong G_{\F_p((t))}. \]Como veremos más adelante, el término perfectoide se deriva justamente de esta construcción.
Inspirados por este ejemplo, sería interesante tratar de entender qué ocurre en característica 0 cuando agregamos algunas raíces $p$-ésimas. Para esto, recordemos que
\[ \Q_p = \left\lbrace \sum_{n=m}^\infty a_n p^n : m \in \Z \mbox{ y }a_n \in \{ 0,1, \ldots, p-1 \} \right\rbrace, \]mientras que
\[ \F_p((t)) = \left\lbrace \sum_{n=m}^\infty a_n t^n : m \in \Z \mbox{ y } a_n \in \F_p \right\rbrace. \]Luego, observamos que los campos $\Q_p$ y $\F_p((t))$ son formalmente muy similares. De hecho, de manera ingenua podríamos pensar que son isomorfos, con el isomorfismo inducido por el morfismo $p \mapsto t$. Sin embargo, el hecho de tener característica diferente, hace que sus estructuras de campo sean muy distintas. Por ejemplo, cuando realizamos operaciones elementales (suma y multiplicación) en $\Q_p$ utilizamos acarreo, mientras que en $\F_p((t))$ no.
Para ilustrar este hecho, consideremos el siguiente ejemplo numérico. Por un lado, sumando los números $3$-ádicos $1+2\cdot 3 + 1 \cdot 3^2$ y $1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2$ (de izquierda a derecha y usando acarreo) tenemos que:
\begin{equation*} \begin{array} & & 1 & + & 2 \cdot 3 & + & 1 \cdot 3^2 & & \\ + & & & 1 \cdot 3 & + & 2 \cdot 3^2 & & \\ \hline & 1 & + & 0 \cdot 3 & + & 1\cdot 3^2 & + & 1 \cdot 3^3 \\ \end{array} \end{equation*}mientras que, la suma de las correspondientes series formales de Laurent $1+2\cdot t + 1 \cdot t^2$ y $1 \cdot t + 2 \cdot t^2$, con coeficiente en $\F_3$ (de izquierda a derecha pero sin usar acarreo) nos da como resultado:
\begin{equation*} \begin{array} & & 1 & + & 2 \cdot t & + & 1 \cdot t^2 \\ + & & & 1 \cdot t & + & 2 \cdot t^2 \\ \hline & 1 & + & 0 \cdot t & + & 0 \cdot t^2 \\ \end{array}\, . \end{equation*}De este ejemplo, es claro que aunque el morfismo $p \mapsto t$ nos da una biyección de conjuntos, éste no induce un morfismo de campos entre $\Q_p$ y $\F_p((t))$.
Sin embargo, a pesar de esta gran diferencia a nivel estructural entre estos dos campos, existe una profunda relación entre sus extensiones. De manera más precisa, consideremos la siguiente extensión infinita
\[ \Q_p(p^{1/p^\infty}) := \bigcup_n \Q_p(p^{1/p^{n}}) \]de $\Q_p$, obtenida al adjuntar todas las raíces $p^n$-ésimas de $p$ a $\Q_p$. A finales de los años setenta, Jean-Marc Fontaine y Jean-Pierre Wintenberger [FW79] demostraron que los grupos de Galois absolutos $G_{\Q_p(p^{1/p^\infty})}$ y $G_{\F_p((t))(t^{1/p^\infty})}$ son canónicamente isomorfos. Luego, este isomorfismo induce una correspondencia entre las extensiones finitas de $\Q_p(p^{1/p^\infty})$ y las extensiones finitas de $\F_p((t))(t^{1/p^\infty})$ la cual es establecida, heurísticamente, por el morfismo $p \mapsto t$. Por ejemplo, el campo de descomposición de $X^2 -p$ sobre $\Q_p(p^{1/p^\infty})$ se corresponde con el campo de descomposición de $X^2 -t$ sobre $\F_p((t))(t^{1/p^\infty})$. Dicha correspondencia nos permite transportar información entre $\Q_p$ y $\F_p((t))$, es decir, entre campos con diferente característica. Por ejemplo, un hecho bien conocido es que la dimensión $\F_p$-cohomológica de $G_{\F_p((t))} \cong G_{\F_p((t))(t^{1/p^\infty})}$ es $\leq 1$. Esto es fácil de probar en característica $p$ gracias a la existencia del morfismo de Frobenius que facilita enormemente el cálculo de ciertos invariantes cohomológicos. Luego, aplicando el isomorfismo de Fontaine y Wintenberger puede mostrarse que la dimensión $\F_p$-cohomológica de $G_{\Q_p(p^{1/p^\infty})}$ también es $\leq 1$.
Desde el punto vista de la geometría algebraica, podemos considerar a los campos como variedades de dimensión 0 y a la correspondencia de Fontaine y Wintenberger como una correspondencia entre cubrientes étales finitos de las variedades $0$-dimensionales definidas por los campos $\Q_p$ y $\F_p((t))$. La idea de espacio perfectoide surge como un intento de extender esta correspondencia al contexto $n$-dimensional, creando así un nuevo puente entre objetos definidos sobre campos de característica 0 y objetos definidos sobre campos de característica positiva.
Debido a la naturaleza analítica de los espacios perfectoides, será necesario extender ligeramente los campos $\Q_p(p^{1/p^\infty})$ y $\F_p((t))(t^{1/p^\infty})$ (sin perder las propiedades galoisianas) para poder trabajar con el concepto de límite libremente.
Notemos que tanto $\Q_p(p^{1/p^\infty})$ como $\F_p((t))(t^{1/p^\infty})$ poseen una norma natural inducida por la norma $p$-ádica de $\Q_p$ y la norma $t$-ádica de $\F_p((t))$. Usando estas normas podemos construir la completación $p$-ádica $K := \widehat{\Q_p(p^{1/p^\infty})}$ de $\Q_p(p^{1/p^\infty})$ y la completación $t$-ádica $K^\flat := \widehat{\F_p((t))(t^{1/p^\infty})}$ de $\F_p((t))(t^{1/p^\infty})$. En particular, el teorema de Fontaine-Wintenberger se sigue cumpliendo en este contexto, i. e. existe un isomorfismo natural entre el grupo de Galois absoluto de $K$ y el grupo de Galois absoluto de $K^\flat$. Este pequeño agrandamiento de $\Q_p(p^{1/p^\infty})$ y $\F_p((t))(t^{1/p^\infty})$ motiva la definición de campo perfectoide.
Recordemos que un campo no arquimediano es un campo topológico $K$ cuya topología es inducida por una valuación no trivial de rango 1. Luego, $K$ admite una norma $\vert \cdot \vert : K \rightarrow \R_{\geq 0}$ la cual es única salvo automorfismos $x \mapsto x^\alpha$ ($0\menorque \alpha \menorque \infty$) de $\R_{\geq 0}$. En particular, dado un campo no arquimediano $K$ podemos definir su anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ como el conjunto de elementos de $K$ con norma $\leq 1$ y su campo residual $k_K$ como el cociente de $\mathcal{O}_K$ por su ideal máximo $(p)$, el cual consiste de los elementos de $K$ con norma $\menorque1$. La característica del campo $k_K$, es conocida como la característica residual de $K$.
Ejemplos de campos perfectoides de característica $0$ son: las completaciones $p$-ádicas de los campos $\Q_p(p^{1/p^\infty})$ y $\Q_p(\mu_{p^\infty})$ así como los complejos $p$-ádicos $\C_p$. Por otro lado, la completación $t$-ádica de $\F_p((t))(t^{1/p^\infty})$ es un ejemplo de campo perfectoide de característica $p$. De hecho, como era de esperarse, en característica $p$ un campo perfectoide es lo mismo que un campo no arquimediano completo y perfecto.
Cabe notar que $\Q_p$ no es un campo perfectoide ya que, a pesar de que $\varphi_p: \Z_p/(p) \rightarrow \Z_p/(p) $ es suprayectivo, la norma $p$-ádica $\vert \cdot \vert_p : \Q_p \rightarrow \R_{\geq 0}$ tiene imagen discreta. Pedir que la valuación sea no discreta en la definición de espacio perfectoide permite excluir a todas las extensiones no ramificadas de $\Q_p$. De hecho, cualquier campo perfectoide es un campo profundamente ramificado en el sentido de Ofer Gabber y Lorenzo Ramero [GR03].
Un punto clave en la definición de campo perfectoide es la suprayetividad del morfismo de Frobenius $\varphi_p : \mathcal{O}_K/(p) \rightarrow \mathcal{O}_K/(p)$. Dicha suprayectividad nos permite definir la inclinación*El nombre utilizado en inglés (idioma original en el que fue introducido [Sch12a]) es tilt. En francés, el término utilizado comúnmente es basculement. $K^\flat$ de $K$ como el campo de fracciones de
\[ \mathcal{O}_{K^\flat} := \lim _{ \substack{\longleftarrow \\ \varphi_p}} \mathcal{O}_{K}/(p). \]Cabe notar que $K^\flat$ siempre es un campo perfectoide de característica $p$. En particular, se puede probar que $K^\flat$ está equipado con una norma natural con respecto de la cual $\mathcal{O}_{K^\flat}$ es su anillo de enteros y que
\begin{equation}\label{eq:tilt} K^\flat = \lim_{\substack{\longleftarrow \\ x \mapsto x^p}} K. \end{equation}Esta construcción induce un funtor de la categoría de campos perfectoides a la categoría de campos perfectoides de característica $p$, el cual es conocido como el funtor de Fontaine. Este funtor aparece por primera vez en la construcción de los anillos de Fontaine, los cuales pueden ser pensados como el análogo (apropiado) de los complejos para hacer teoría de Hodge en el mundo $p$-ádico.
Ahora, nos gustaría extender el funtor de Fontaine a un funtor entre objetos geométricos sobre $K$ y objetos geométricos sobre $K^\flat$. Por ejemplo, inspirados por la igualdad (\ref{eq:tilt}), nos gustaría que la recta afín $\A_{K^\flat}^1$, asociada a la línea afín $\A_K^1$, sea ``igual'' al límite inverso $\displaystyle \lim _{\longleftarrow} \A_{K}^1$, donde el morfismo de transición está dado por elevar a la $p$-ésima potencia.
Es evidente que existe un isomorfismo entre $\A_{K\flat}^1$ y $\displaystyle \lim _{\longleftarrow} \A_{K}^1$, a nivel puntos, inducido por la igualdad (\ref{eq:tilt}). Observemos que, como dicha igualdad involucra límites $p$-ádicos, una formalización ``geométrica" del isomorfismo anterior tiene que ser de naturaleza analítica. En nuestro contexto, esto significa que será necesario trabajar en una categoría de espacios analíticos no arquimedianos. La primera categoría de este tipo fue introducida por John Tate [Ta71] en los años setenta y es conocida como la categoría de espacios analíticos rígidos de Tate. Desafortunadamente, debido a las fuertes condiciones de finitud (v. gr. condiciones de noetherianidad) sobre las que se construye esta teoría, dicha categoría no es apropiada para trabajar en el mundo perfectoide. Sin embargo, al menos dos categorías mucho más flexibles han sido introducidas en los noventa: la categoría de espacios analíticos de Berkovich [Be90] y la categoria de espacios ádicos de Huber [Hu96].
En el contexto de espacios perfectoides, la categoría adecuada será la categoría de espacios ádicos de Huber, que curiosamente tenía muy pocos adeptos antes del trabajo de Scholze. Una importante razón por la que Scholze elige esta categoría, es debido a que muchos ejemplos de espacios perfectoides aparecen como límites inversos de espacios clásicos de tipo finito. La noción general (i. e. a nivel teoría de topos) de límite inverso desarrollada por Grothendieck en el volumen 4 del Seminario de Geometría Algebraica de Bois Marie (SGA 4) requiere de topos coherentes y justamente los espacios topológicos subyacentes a los espacios ádicos son coherentes y cuentan con un topo étale coherente. Esto permite usar libremente toda la maquinaria que aparece en SGA 4 la cual es crucial en muchas aplicaciones de espacios perfectoides. Por el contrario, los espacios topológicos subyacentes a los espacios de Berkovich son compactos y Hausdorff, por ende no son coherentes.
El lenguaje de Huber reinterpreta las variedades analíticas rígidas como ciertos espacios topológicos localmente anillados. En particular, en este lenguaje existe un funtor de analitificación $X \mapsto X^{\ad}$ de la categoría de variedades sobre un campo perfectoide $K$ a la categoría de espacios ádicos sobre $K$. Este funtor es muy similar al funtor introducido por Jean-Pierre Serre en su famoso artículo Geometría algebraica y geometría analítica (GAGA) que asocia a cada variedad sobre $\C$ un espacio complejo analítico. En este contexto, tenemos el siguiente homeomorfismo de espacios topológicos subyacentes:
\[ \vert (\A_{K^{\flat}}^1)^{\ad} \vert \cong \lim _{\longleftarrow} \vert (\A_{K}^1)^{\ad} \vert \]Notemos que los espacios topológicos a ambos lados de este homeomorfismo pueden ser vistos como espacios topológicos localmente anillados. Luego es natural preguntarse si es posible comparar sus estructuras de gavilla. Es evidente que existe un obstáculo para hacer dicha comparación, pues mientras que la gavilla asociada al espacio del lado izquierdo es de característica $p$, la gavilla asociada al espacio de la derecha es de característica 0. Sin embargo, es justo en este punto donde el funtor de Fontiane hace posible dicha comparación.
De manera más precisa, recordemos que un subconjunto $S$ de un anillo topológico $A$ es acotado si para cada vecindad abierta $U$ de 0 existe una vecindad abierta $V$ de 0 tal que $VS \subset U$. Un elemento $x \in A$ es una potencia acotada si el conjunto $\{ x^n : n \geq 0 \}$ es acotado. Es fácil ver que el conjunto de potencias acotadas $A^\circ$ es un subanillo de $A$.
En particular, el campo perfectoide $K=\Q_p(p^{1/p^{\infty}})^{\wedge}$, definido como la completación $p$-ádica de $\Q_p(p^{1/p^{\infty}})$, es una $K$-álgebra perfectoide donde la estructura de álgebra de Banach es inducida por la norma $p$-ádica. En este caso, el subanillo de potencias acotadas $K^\circ$ es la completación $p$-ádica de $\Z_p[p ^{1/p^\infty}]$. Dicha completación es isomorfa al anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ de $K$ y por lo tanto $K^\circ$ es abierto y acotado. Además, es claro que el morfismo de Frobenius en $K^\circ /(p)$ es suprayectivo por construcción. De hecho, en general cualquier campo perfectoide $K$ es una $K$-álgebra perfectoide donde la estructura de álgebra de Banach es inducida por la norma de $K$.
Otro ejemplo de $K$-álgebra perfectoide es el siguiente. Sea $K$ un campo perfectoide y consideremos la completación $p$-ádica de la $K^\circ$-álgebra $ K^\circ [T^{1/p^\infty}] := \bigcup_n K^\circ[T^{1/p^n}]$, que denotaremos por $K^\circ \langle T^{1/p^\infty} \rangle$. Luego, definamos la siguiente $K$-álgebra
\[ K\langle T^{1/p^\infty} \rangle := K^\circ \langle T^{1/p^\infty} \rangle \left[ \frac{1}{p}\right], \]que puede ser equipada con una estructura de álgebra de Banach en la que $K\langle T^{1/p^\infty} \rangle^\circ = K^\circ \langle T^{1/p^\infty} \rangle$ es abierto y acotado. Como en la construcción hemos agregado todas las raíces $p^n$-ésimas de $T$ el morfismo de Frobenius en $K^\circ\langle T^{1/p^\infty} \rangle / (p)$ es suprayectivo y por lo tanto $K\langle T^{1/p^\infty} \rangle$ es una $K$-álgebra perfectoide.
Observemos que las $K$-álgebras perfectoides pueden ser muy grandes en general (v. gr. no noetherianas) pues ninguna condición de finitud es impuesta, por lo que la mezcla de completez y no noetherianidad podría causar grandes problemas. Por ejemplo, la completación de álgebras no noetherianas en general no es plana. Sin embargo, la condición impuesta en el morfismo de Frobenius siempre forzará el buen comportamiento de estas álgebras a pesar de su gran tamaño.
Como en el caso de campos perfectoides, es posible construir la inclinación $A^\flat$ de cualquier $K$-álgebra perfectoide $A$ como sigue.
Sea $A$ una $K$-álgebra perfectoide y definamos
\[ A^{ \flat \circ} := \lim _{ \substack{\longleftarrow \\ \varphi_p}} A^\circ/(p), \]que es una $\mathcal{O}_{K^\flat}$-álgebra, entonces la inclinación de $A$ se define como
\[ A^\flat := A^{\flat \circ} \otimes_{\mathcal{O}_{K^\flat}} K^\flat = \lim _{ \substack{\longleftarrow \\ x \mapsto x^p}} A. \]En particular, $A^\flat$ es una $K^\flat$-álgebra perfectoide con subanillo de potencias acotadas $A^{\flat \circ} \subset A^\flat$. A continuación se presenta uno de los principales resultados en la tesis de Scholze [Sch12a], que generaliza el teorema de Fontaine-Wintenberger.
Como ocurre en geometría algebraica, donde cada variedad algebraica es construida pegando variedades afines, aquí un espacio perfectoide puede ser construido pegando espacios perfectoides afinoides. De manera más precisa, una $K$-álgebra perfectoide afinoide se define como una pareja $(A,A^+)$ donde $A$ es una $K$-álgebra perfectoide y $A^+ \subset A^\circ$ es un subanillo abierto y enteramente cerrado (usualmente $A^+ = A^\circ$). Como es de esperarse, existe una manera natural de asociarle a $(A,A^+)$ su inclinación $(A^\flat,A^{\flat+})$. Debido a que dichas parejas son anillos de Huber, dada una $K$-álgebra perfectoide afinoide $(A,A^+)$ podemos asociarle un espacio topológico $X := \Spa(A, A^+)$, conocido como el espectro ádico de $(A, A^+)$. Este espacio está formado por las clases de equivalencia de las valuaciones continuas $\nu$ de $R$ tales que $\nu(A^+) \leq 1$, y su topología es generada por los llamados conjuntos racionales (base de abiertos) de $(A,A^+)$. Además, Roland Huber define una pareja de pregavillas $\mathcal{F}_X$ y $\mathcal{F}_X^+$, asociadas a $X$, cuyas secciones globales coinciden con $A$ y $A^+$ respectivamente.
En [Sch12a], Scholze demuestra que $X := \Spa(A, A^+)$ es homeomorfo a $X^\flat := \Spa(A^\flat, A^{\flat +})$ y que para cada subconjunto racional $U \subset X$ con inclinación $U^{\flat} \subset X^{\flat}$, la pareja $(\mathcal{F}_X(U), \mathcal{F}_X^+(U))$ es una $K$-álgebra perfectoide afinoide con inclinación $(\mathcal{F}_{X^{\flat}}(U^{\flat}),\mathcal{F}_{X^{\flat}}^+(U^\flat))$. De hecho, demuestra que las pregavillas $\mathcal{F}_X$ y $\mathcal{F}_X^+$ son gavillas. En general, dada una pareja de Huber $(A,A^+)$, no se sabe si las pregavillas $(\mathcal{F}_X, \mathcal{F}_X^+)$ asociadas a $X=\Spa(A,A^+)$ son gavillas. El mejor resultado conocido en esta dirección $-$antes de Scholze$-$ es un resultado debido a Huber, que afirma que si $A$ es un anillo de Huber fuertemente noetheriano, entonces $(\mathcal{F}_X, \mathcal{F}_X^+)$ son gavillas. Cabe notar que el caso probado por Huber, es muy diferente al de las álgebras perfectoides, las cuales prácticamente nunca son (fuertemente) noetherianas. De ahí la importancia del resultado de Scholze.
En general, un espacio perfectoide sobre $K$ puede definirse pegando espacios perfectoides afinoides sobre $K$ de manera apropiada, y de hecho es posible definir morfismos étales entre espacios perfectoides y por lo tanto topos étales. Finalmente, usando el teorema 2.3, tenemos el siguiente resultado fundamental.
A pesar de que la teoría de espacios perfectoides es muy reciente ya ha demostrado ser extremadamente potente produciendo profundos resultados en geometría aritmética y sus áreas vecinas.
Por ejemplo, la preservación de étalidad al aplicar el funtor de Fontaine en el teorema 2.5, además de generalizar el resultado de Fontaine y Wintenberger, permite generalizar también el teorema de cuasi-puridad de Faltings al contexto de variedades analíticas rígidas (propias y lisas). Este teorema fue un ingrediente clave en el trabajo de Gerd Faltings [Fa88] sobre teoría de Hodge $p$-ádica la cual permitió resolver varias conjeturas de Fontaine a finales de los ochenta. Como era de esperarse, el trabajo de Scholze permite generalizar la teoría de Hodge $p$-ádica de variedades algebraicas al contexto de variedades analíticas rígidas [BMS1] [BMS2] [Sch13], además permite sentar las bases para la construcción de una teoría universal de cohomología $p$-ádica [Sch].
La equivalencia del teorema 2.5 también proporciona una poderosa herramienta para reducir ciertos problemas en característica 0 a problemas en característica $p$. Por ejemplo en [Sch12a], Scholze prueba nuevos casos de la conjectura de monodromia de pesos para ciertas variedades propias y lisas sobre $\Q_p$ reduciendo el problema al estudio de ciertas variedades sobre $\F_p((t))$, donde dicha conjectura fue probada por Pierre Deligne [De80] a finales de los setenta como parte de la demostración de las famosas conjeturas de Weil.
Finalmente, muchas construcciones naturales en aritmética $-$que hasta el momento estaban lejos de tener una buena interpretación geométrica$-$ resultan ser espacios perfectoides de manera natural. Por ejemplo, las variedades de Shimura con nivel infinito en $p$ y los espacios de Rapoport-Zink (análogos locales de las variedades de Shimura) con nivel infinito. Esta nueva interpretación perfectoide ya ha tenido profundas implicaciones en uno de los más importantes problemas en teoría de números, la correspondencia local y global de Langlands [Sch15] [Sch].
Bhargav Bhatt, uno de los más cercanos colaboradores de Scholze, al final de [Bha14] señala que el verdadero poder de los espacios perfectoides apenas empieza a ser explotado y seguramente muchas más aplicaciones están por venir.
