Esta es la primera publicación formal en inglés de las bien conocidas notas de un curso que Robert Steinberg dio en Yale en 1967, originalmente impresas en forma mimeografiada.*Si alguien todavía recuerda este formato. A pesar de que este medio sólo permitía una circulación limitada, las notas de Steinberg se convirtieron en la referencia usual para una introducción a la teoría de grupos de Chevalley. El problema era que, antes de esta publicación formal, el acceso a esta exposición magistral dependía de que la biblioteca local tuviera una copia o una copia de una copia de estas notas. Una ganancia adicional a la publicación formal es que esta edición incluye algunas correcciones y adiciones a la edición mimeografiada.
Los grupos de Chevalley son generalizaciones de grupos de Lie reales o complejos, definidos ahora sobre campos arbitrarios, en particular sobre campos finitos, donde dan lugar a familias de grupos finitos simples. Como la clasificación de los grupos de Lie clásicos depende de la teoría de álgebras de Lie semisimples y simples, la exposición de Steinberg asume lo anterior y sólo resume en unas cuantas páginas la teoría de álgebras de Lie complejas y su clasificación en términos de sus grupos de Weyl y sistemas de raíces.*Lo anterior puede verse, con mayor detalle, en Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, J. Humphreys (Springer, Nueva York, 1972).
Asumiendo lo anterior, el libro inicia con un tratamiento completo de los grupos de Chevalley sobre un campo arbitrario: desde su construcción usando la ${\mathbb Z}$-forma de Konstant asociada al álgebra universal envolvente del álgebra de Lie dada, hasta su descripción en términos de pares BN de Tits.*Pares de grupos de Borel y normalizadores de un toro máximo, determinados, salvo conjugación, por el grupo de Chevalley dado. También se incluye la descomposición de Bruhat o la presentación del grupo de Chevalley universal en términos de generadores y relaciones, la demostración de su simplicidad y que son grupos algebraicos.
Un capítulo considera el caso cuando el campo base es finito y se incluye el cálculo de los órdenes de los grupos de Chevalley finitos correspondientes. Otro capítulo se dedica a estudiar isomorfismos y automorfismos de grupos de Chevalley sobre campos perfectos, por medio de simetrías de los sistemas de raíces asociados. Algunos grupos de Chevalley torcidos se estudian como subgrupos de puntos fijos de un automorfismo de un grupo de Chevalley.
El capítulo 7 considera con detalle el caso de extensiones centrales de grupos de Chevalley incluyendo su relación con la construcción de los grupos $K_2$ de Milnor por medio de relaciones de Steinberg.
Los últimos tres capítulos son dedicados a la teoría de representaciones de grupos de Chevalley, tanto en el caso ordinario como en el caso modular.
Un apéndice resume los hechos básicos acerca de grupos de reflexiones finitos, sus sistemas de raíces y su presentación como grupos de Coxeter.
Este pequeño libro de Steinberg incluye varias contribuciones originales del autor, que es usual encontrarlas en la literatura, por ejemplo sobre automorfismos de grupos de Chevalley y la construcción de (algunos) grupos de Chevalley torcidos como puntos fijos de automorfismos de grupos de Chevalley. Aún en el apéndice en un tema ahora clásico, la demostración de que todo grupo finito de reflexiones es un grupo de Coxeter es original de Steinberg y es la que se encuentra en cualquier referencia sobre grupos de reflexiones.Por ejemplo, en Reflection Groups and Coxeter Groups, J. Humphreys, Cambridge University Press, Londres, 1990.
Por supuesto que hay otras exposiciones de grupos de Chevalley, por ejemplo en el libro Simple Groups of Lie Type, R. W. Carter Wiley, Londres, 1972, que es más detallada y es muy buena, pero no incluye algunos temas considerados por Steinberg. El costo es que la exposición de Steinberg es más concisa, minimalista aun en algunos argumentos.
