El propósito de este trabajo es mostrar que el teorema de la función implícita puede generalizarse al caso de funciones diferenciables en direcciones admisibles, definidas en el producto cartesiano de dos subconjuntos convexos, con interior vacío en un espacio de Banach $Z.$ Dicha generalización permite probar la existencia del equilibrio walrasiano en economías de dimensión infinita.
Dado que el objetivo del presente trabajo es mostrar el interés que tiene para la teoría económica el generalizar un teorema fundamental de la teoría de funciones, haremos referencia a dos tipos de antecedentes. Primeramente los que provienen de la matemática propiamente, y luego los que provienen de la teoría económica. A continuación nos referiremos al problema de la teoría económica que nos plantea el desafío de generalizar un teorema bien conocido del análisis matemático. A seguir mostraremos la generalización buscada, y finalmente discutiremos las aplicaciones posibles a partir de ella y su importancia para la teoría económica.
En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes, bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de varias variables permite definir a una de ellas o varias como función de las demás.
Para ser un poco más precisos consideremos un conjunto de $m$ funciones $F_i\colon \R^n \times \R^m \rightarrow \R^m$ diferenciables.
El teorema de la función implícita establece que si un sistema de ecuaciones \begin{equation}\label{equation:fi}F_i (x_1, \dots , x_n, y_1, \dots , y_m) = 0 ,\;\; i = 1,\dots ,m\end{equation} satisface algunas condiciones no muy exigentes para sus derivadas parciales, entonces, en principio puede encontrarse una relación localLuego explicaremos este concepto con precisión, que exprse las $m$ variables $y_i$ en términos de las $n$ variables $x_j$ en la forma $y_i = f_i (x_1,\dots ,x_n),$ y de tal manera que se verifiquen la identidades $$F_i (x_1,\dots ,x_n, y(x_1,\dots x_n),\dots .y_m(x_1,\dots ,x_n)) = 0,$$ para $(x_1,\dots ,x_n)$ en algún subconjunto $X^n \subset \R^n.$
Para simplificar la notación utilizaremos la expresión $F(x, y) = 0$ donde $ x = (x_1,\dots ,x_n),\; y = (y_1,\dots ,y_m),\; F = (F_1,\dots ,F_m)$ siendo cada $F_i\colon \R^n \times \R^m \rightarrow \R.$
Para representar las $m$ funciones $y_i\colon X^n \rightarrow \R$ implícitamente definidas por el sistema (\ref{equation:fi}), utilizaremos la notación $y(x) = (y_1(x),\dots ,y_m(x)).$ Por lo que resultará el sistema $F(x, y) = 0$ y las soluciones $y(x)$ tales $F(x, y(x)) = 0$
El teorema de la función implícita es el siguiente:
Nótese que $\R^m\times \R^n$ es isomorfo a $\R^{m+n}.$z En realidad no precisamos que el dominio de $F$ sea todo el espacio vectorial $\R^{n m+n},$ bastaría con que el dominio de $F$ fuese un subconjunto abierto $X\times Y \subset \R^{m}\times \R^{n}.$ Esto permite generalizar el teorema fácilmente a funciones definidas en conjuntos abiertos de espacios vectoriales generales. Bastaría con que pudiéramos definir derivadas parciales. En este caso serían las llamadas derivadas de Gateaux. El problema interesante, es que, en algunos asuntos de la teoría económica requerimos aplicar este teorena a conjuntos con interior vacío.
Como veremos podemos recrear el teorema de la función implícita, siempre que el dominio de la $F$ sea convexo. El hecho de que el interior sea vacío en principio no nos impide generalizar el teorema.
Supongamos una economía de intercambio puro, con $k$ bienes diferentes presntes en el mercado y $n$ consumidores, a los que representaremos por el índice $ i \in \{1,\dots ,n\}.$ Por bienes en el mercado entedemos no sólo casas, carros, sillas o naranjas, sino también servicios o prestaciones, en general todos aquellos productos que puedan ser interambiadas en el mercado. Cada cosnumidor está dotado de preferencias (las que represntamos por $\succeq$) las que le permite decidir entre dos cestas de bienes cualesquiera, cuál de ellas prefiere. Cada cesta de bienes está representada por un vector $x \in \R^k$ con coordenadas no negativas, las que indican la cantidad de unidades de cada bien que integran la cesta. Por $\R_{k}^+$ represntaremos el cono positivo de $R^k.$ Por o que cada cesta de bienes $x$ será un elemnto de $R^k_+$ que representa, por lo tanto, el conjunto de consumo,
Dada dos cestas de bienes $x, y \in \R^k_+$ (donde por $\R^k_{+}$ representamos el cono positivo de $\R^k$), escribiremos $x \succeq y$ si para el conusmidor la cesta $x$ es al menos tan buena como la cesta $y.$ Cada consumidor está dotado de una cesta inicial o dotación inicial, a la que representarmos por $w \in \R^k_+$ y está compuesta por $k$ bienes diferentes, tales como carros o casas, o bien por capacidades diferentes para ejecutar determinados trabajos o brindar servicios, que pueden ser ofrecidos en el mercado a cambio de otros productos. Las coordenadas en el vector $w$ (que representa la cesta inicial), correspondientes a los bienes que el consumidor no dispone inicialmente son iguales a cero. El consumidor munido de su cesta inicial va al mercado procurando intercambiarla por otra que le resulta preferible. Si ésta no existiera no iría al mercado. Ciertamente, no podrá intercambiar su cesta inicial por cualquier otra de su conjunto de consumo, sino sólo por alguna de aquellas cuyo valor no exceda al de su inicial.
El valor de cada cesta de bienes queda determinado por el producto interno $p\cdot x = \sum_{j=1}^{k}p_jx_j,$ $p = (p_1,\dots ,p_k)$ representa un sistema de precios, siendo $p_j \mayorque 0$ el precio del $j-$ésimo bien, $j \in \{1,\dots ,k\}$.
Luego, si por $\R^k_{++}$ representamos el conjunto de vectores en $\R_+^k$ tales que toda coordenada es mayor que 0, entonces cada sistema de precios $p$ será un elemento de este conjunto.
El problema fundamental del consumidor, para la teoría económica, consiste en encontrar la cesta de bienes en el conjunto de consumo (en este caso el cono positivo de $\R^{k}$) que maximice sus preferencias dada su restricción presupuestaria. Entendiendo por restricción presupuestaria el subconjunto $B_w(p) \subset \R_+^k$ $$ B_w(p) = \{x \in R^k_+ : p\cdot x \leq p\cdot w\}.$$ Lo que significa que el consumidor deberá contentarse con elegir una cesta al menos tan buena para él, como la inicial, en el subconjunto de aquellas que, estando en su conjunto de consumo, no superen en valor al de su cesta inicial.
Asumimos que las preferencias del consumidor pueden ser representadas por funciones de utilidad, esto es por funciones con dominio en el conjunto de consumo, y tales que $u(x) \geq u(y)$ si y solamente si $x \succeq y.$
En estos términos el problema del consumidor corresponde a resolver el siguiente problema de optimización: \begin{equation}\label{equation:pfe} \max_{x \in \R^k_+}u(x),\;s.a\; px \leq pw \end{equation} donde $u\colon \R_+^k \rightarrow \R$
La solución de este problema es conocida como la demanda del consumidor. Es decir, la demanda del consumidor corresponde a la solución del sistema no lineal, de $k + 1$ ecuación con $k + 1$ incógnitas \begin{equation}\label{equation:demanda} \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x_j}(x) - \lambda p_j = 0, \, j \in \{1,\dots ,k\}\\ \\px - pw = 0. \end{array}\end{equation}
Fijados $p$ y $w$ la solución de este problema queda determinada por un vector del tipo $x(p, w) \in \R_+^k$ para el que se verifica que $$u(x(p,w)) \geq u(x)\;\; \mbox{para todo}\;\; x \in B_w(p).$$
En general los precios en la economía se modifican con mayor rapidez que las dotaciones iniciales, las que comúmente se suponen fijas, Luego la demanda será una función de los precios. La pregunta entonces es, qué tipo de función es ésta.
El sistema de ecuaciones (\ref{equation:demanda}), puede escribirse de la siguiente forma: $$ \begin{array}{l} F_j(p, w, x, \lambda) = \frac{\partial u}{\partial x_j}(x) - \lambda p_j = 0, \, j \in \{1,\dots ,k\}\\ \\F_{k + 1}(p, w, x, \lambda) = px- pw = 0. \end{array}$$
Nuestra pregunta es si podemos escribir a las variables $x$ y $\lambda$ en función del $p$ y $w.$ El teorema de la función implícita nos da la respuesta siempre que pidamos a las funciones de utilidad que sean al menos dos veces derivables con continuidad esto es $C^2$. En efecto, podemos considerar $F_j:\R^{2k} \times \R^{k + 1},\; j \in \{1,\dots ,k+1\}.$ De acuerdo con el teorema de la función implícita, siendo $n = 2k$ y $m = k +1$ y siempre que exista al menos una solución para el sistema del tipo $(a; b) = ( p, w, x, \lambda)$ la demanda será una función diferenciable de $p$ y $w$ localmente en un entorno de la solución encontrada. La existencia de la solución para $p,$ y $w$ fijos la garantiza el teorema de Weierstrass, dado que $B_w(p)$ es un conjunto acotado y cerrado de $\R^n$ (es decir, compacto según el teorema de Heine-Borel).
Ahora bien, el asunto es que muchos de los problemas más interesantes de la teoría económica moderna, suponen que las cestas de consumo son vectores de espacios más complejos que $\R^n;$ por ejemplo, espacios de Banach, tales como $L^p$ o el espacio de funciones continuas o diferenciables, etcétera. donde los conos positivos, que representan los conjuntos de consumo, dejan de tener interior. Extender el teorema de la función implícita a conos positivos de espacios de Banach, permitiría mostrar que la demanda es una función continua de los precios también en estos espacios más generales* El lector interesado podrá encontrar una generalización del teorema de la función implícita para subconjuntos abiertos de espacios de Banach en [Ze]. No obstante, obsérvese que necesitamos aplicarlo a conjuntos con interior vacío, por lo tanto debemos ir un poco más allá.. Junto a este problema, una duda que naturalmente surge es acerca de la naturaleza o la representación, en este nuevo marco, de los precios. Como veremos, estos quedarán representados por funcionales lineales definidos en el espacio en el que se modela la economía.
Si bien, en lo que sigue consideraremos conjuntos convexos con interior vacío, como el lector fácilmente puede convencerse los teoremas y definiciones aquí considerados, siguen siendo válidos para conjuntos convexos con interior no vacío. En estos casos recuperaremos la teoría ya conocida.
La novedad está precisamente en que, como mostraremos, el teorema de la función implícita puede generalizarse a conjuntos convexos con interior vacío.
Sean $X$ e $Y$ espacios de Banach. Para cada $x \in X$ representaremos por $\|x\|$ la norma de $x.$ Análogamente para cada $y \in Y.$ Sin pérdida de generalidad podemos considerar la misma norma para ambos espacios.
Consideraremos a continuación funciones definidas en conjuntos convexos con interior vacío. No obstante, todos los teoremas y definiciones que presentaremos, son válidos para conjuntos convexos independientemente de ser su interior vacío o no. La novedad está en que estos teoremas, y en particular el de la función implícita, siguen siendo válidos, aun cuando trabajamos con conjuntos convexos con interior vacío.
En la teoría económica, es frecuente considerar, funciones definidas sobre conjuntos convexos con interior vacío, el cono positivo de diferentes espacios de Banach puede represntar el conjunto de consumo para muchas economías. Por ejemplo, el cono positivo de $L^2(X)= \left\{f\colon X \rightarrow \R: \int_X \|f(x)\|^2dx \menorque \infty\right\},$ el espacio vectorial de las funciones reales tales que su cuadrado es integrable, ampliamente utilizado en teoría de finanzas, y en general para representar cestas de consumo que dependen de los estados futuros de la naturaleza, que corresponden a variables aleatorias con media y variancia finita, tiene interior vacío. En general, esto sucede para casi todos los conos positivos de espacios de Banach, son muy pocas las excepciones.
Para cada punto $x \in S$ representaremos por $U_x(\epsilon)$ la bola con centro en $x$ y radio $\epsilon.$ Esto es $$U_x(\epsilon) = \left\{ w \in X: \| x- w \| \leq \epsilon \right\}$$ y la vecindad relativa $V_x(\epsilon) = U_x(\epsilon) \cap S.$ Usaremos el símbolo $ o(\|h\|)$ para describir infinitésimos de orden superior a$\|h\|,$ esto es $\frac{o(\|h\|)}{\|h\|} \rightarrow 0$ cuando $h \rightarrow 0.$ Escribimos $L(X, Y) $ para representar la clase de todas las funciones $ T\colon X \rightarrow Y,$ lineales y continuas.
Mediante la notación $S_x$ representaremos el conjunto de las direcciones admisibles para $x \in S,$ $$S_x =\left\{ h \in {\cal A}_x, \|h\| =1\right\}.$$
Si $S$ es un subconjunto convexo de $X$ resulta que:
La función $(T_xf)$ se denomina G-derivada (derivada de Gateaux) de $f$ en $x$ en la dirección admisible $h.$ Si $(T_xf)$ no depende de la dirección decimos que $f$ el G-diferencible en $x$ y escribimos $(T_xf)h = d_G f(x,h) = f'(x)h.$
La ecuación (\ref{eq:gd}) muestra que la derivada queda definida como una linealización y que está definida en las direcciones admisibles, en forma única por la expresión equivalente: $$ f'(x)h = \lim_{\beta\downarrow 0} \frac{f (x + \beta h) - f(x)}{\beta}.$$
Si establecemos $\phi(\beta) = f(x + \beta h)$ para la G-derivada resulta la igualdad $\phi'(0)=f'(x)h.$
Siendo $f\colon S \rightarrow Y$ derivable en $x \in S$ en una dirección admisible $k \in S_x$ es posible definir la segunda derivada; \begin{equation}\label{eq:ggd} f'(x + \beta k) = f'(x) + f”(x)k + o(\beta\}. \end{equation}
Entonces, $f”(x)$ es un operador lineal de $X$ en $L(X, Y),$ i.e, $$f”(x) \in L(X, L(X, Y)).$$ Del hecho de que: $$ \|f”(x)kh\| \leq \| f”(x)\| \| h \| \| k \| $$ se deduce que $ f”(x) $ es una función bilineal CDA, tal que para cada $h \in X $ $f”(x) h\colon X \rightarrow L(X, Y). $
Las G-derivadas en direcciones admisibles de orden mayor, pueden definirse de manera análoga. Escribiremos: $f^{(n)}(x) h_1 \dots h_n $ para simbolizar la enésima -derivada en $x \in S $ para $ h_1, \dots , h_n \in S_x, $ y denotaremos $$ f^{(n)}(x)h^{n} = f^{(n)}(x) h_1 \dots h_n$$
Es posible generalizar la fórmula clásica de la serie Taylor para funciones definidas en conjuntos convexos.
\begin{equation}\label{eq:tsf} f(x + h) = f(x) + \sum_{i = 1}^{n-1} \frac{1}{k}f^{k}(x)h^{k} + R_n. \end{equation} Donde $f^k(x)h^{k} = [f^{k}(x)h^{k-1}]h.$
Tenemos el siguiente teorema de Taylor generalizado:
Prueba: Establecemos $\phi(t) = f(x + th),$ para $ h \in S_x $ y $0 \leq t \leq 1$ y obtenemos: $\phi^{k}(0) = f^{(k)}(x) h \dots h.$ El resultado es inmediato aplicando el teorema de Taylor o el toerema del valor medio a la función $\phi.$
Sean $X$ e $Y$ espacios de Banach, $S\subset X$ y $W \subset Y$ subconjuntos convexos de $X$ e $Y$ respectivamente. A continuación utilizaremos la siguiente notación:
Suponga que
Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:
Demostración: Presentaresmos a continuación solamente las pruebas de los puntos 1 y 2. La demostración completa de este teorema el lector puede encontrarla en [Ac1].
Sin pérdida de generalidad, podemos considerar que $ x_0 = 0 $ y $ y_0 = 0.$ Sea $$g(x, y) \equiv F_y (0, 0) y - F (x, y).$$ Donde $F_y (0, 0)$ representa la G-derivada de $F$ con respecto a la segunda variable, en todas las direcciones admisibles $ h \in W $ en cero, esto es $F_y (0, 0)w = \lim_{t \rightarrow 0} \frac {F (0, tw) - F (0, 0)}{t}$ donde $ w \in S_0(0)$
La ecuación $ F(x, y) = 0 $ es equivalente a la ecuación: $$ y = F_y (0,0)^{- 1} g(x, y) = T_xy. $$ Tenga en cuenta que $ T_x $ no denota una derivada parcial, sino que para cada $x$ represnta una función de $y.$ El operador inverso $F_y (0,0)^{- 1}\colon F(S, W) \rightarrow W$ Sean $ h, k \in S_{y_0}(x_0)$ vectores admisibles en un punto $ (x_0, y_0) \in S $, entonces, existe $\bar{\alpha} \mayorque 0$ tal que, para todo $0 \leq \alpha \leq \bar{\alpha} \leq 1$ $(x_0, y_0 + \alpha h) \in S \times W $ y $(x_0, y_0 + \alpha k) \in S \times W.$ Consideremos entonces los elementos de $S$ $ y = y_0 + \alpha h $ y $ z = v_0 + \alpha k.$
Por la CDA en $(0,0)$ de $ F $ y $ F_y,$ el teorema de Taylor implica que: $$\|g (x, y) - g (x, z) \| \leq \sup_{0 \menorque \tau \menorque 1} \|g_y (x, z + \tau (y -z) \| \| y - z \| \leq o(\tau)\| y - z \|, \; \; r \rightarrow 0. $$
Como $ g(0, 0) = 0 $ y $ g $ es CDA en $ (0, 0) $ a tiene que eso: \[\| g(x, y) \| \leq \|g (x, y) - g (x, 0) \| + \| g (x, 0) \| = o(r) \|y \|, \; \; r \rightarrow 0. \]
Para un valor positivo suficientemente pequeño de $r_0 $ y $ r $ obtenemos los límites $$ \| T_xy \| \leq \| F_y (0,0)^{- 1} \| \| g (x, y) \| $$ y $$ \| T_xy - T_xz \| \leq o(r) \| F_y (0,0)^{- 1} \| \| y - z \| $$ para todo $ y, z \in W,$ luego $ T_x $ tiene un punto fijo.
El teorema del punto fijo de Banach aplicado a la funciónj $ T_x\colon M \cap S_x (\cdot) \rightarrow M \cap S_x (\cdot) $ donde $M = \left\{y \in Y: \|y \| \leq r \right\}$ con $x$ fijo, inmediatamente que las afirmaciones 1 y 2 se cumplen.
Como ya lo señalamos, en economía matemática, suelen considerarse conjuntos de consumo que corresponden a subconjuntos convexos con interior vacío de espacios vectoriales topológicos. Estas economías, por contraposoción con aquellas cuyos conjuntos de consumo corresponden a subconjuntos de espacios vectoriales de dimensión finita, se denominan infinitas, de dimensión infinita, o incluso con infinitos bienes. Denominación esta, que no hace referencia a la posible existencia de infinitos bienes en algún momento, sino a las dimensiones de los espacios sobre las que se modelan los conjuntos de consumo. En general, los conjuntos de consumo de estas economías, corresponden a conos positivos de espacios vectoriales de dimension infinita, los que como ya fue dicho suelen ser de interior vacío.
Como ejemplo de tales economías podemos considerar aquellas en los que los consumidores desean alcanzar una senda óptima de ahorro y consumo a lo largo de toda su vida, y consideran conjuntos de funciones que dependen del tiempo como cestas de bienes que componen el consumo deseable en cada momento de su vida. En caso de ser el tiempo continuo el conjunto de consumo de estas economías corresponde al cono positivo del espacio $L^1[T]$ esto es, al conjunto de funciones positivas, definidas sobre el intervalo $[0, T]$ y tales que $\int_{[0, T]}|f|(t)dt \menorque \infty.$ En el caso de ser el tiempo discreto, el espacio de Banach sobre el que se modela la economía, corresponde a $l^1$ es decir el conjunto de las sucesiones reales sumables en valor absoluto. Estos espacios son los habituales para la teoría del crecimiento.
En finanzas, como ya fué dicho, se utilizan funciones aleatorias cuyas varianzas son finitas, lo que corresponde al espacio $L^2[\Omega, \mu]$ siendo $\Omega$ el conjunto de estados posibles de la naturaleza en un momento futuro y $\mu$ una medida de probabilidad sobre $\Omega.$ El lector interesado, podrá encontrar otros ejemplos en [MCZ] así como un resumen de las dificultades matemáticas que este modelado de las economías conlleva. En el mismo sentido puede consultarse también [Ac2] y [Ac3].
En el caso que nos ocupa, consideramos economías, llamadas de intercambio puro, pues no interviene la producción, modeladas sobre espacios de Banach, es decir, donde los conjuntos de consumo, corresponden a subconjuntos de espacios de Banach. Como ya fue dicho en la sección \ref{section:edf}, en estos modelos, los agentes económicos son esencialmente consumidores, que desean encontrar en el mercado una cesta de bienes que maximice sus preferencias dentro de sus respectivas restricciones presupuestarias.
Como ya dijimos, fijados los precios y las dotaciones iniciales la solución de este problema, corresponde a la demanda individual de cada consumidor. En agregado, corresponderá a la demanda de la sociedad.
Asumimos que el conjunto de consumo, es decir el conjunto de cestas que representan los posibles consumos de cada agente, es el cono positivo de un espacio de Banach. Asumiremos además que este conjunto es cerrado. Para valuar las cestas de bienes necesitamos definir los precios, No parece fácil decidir qué cosa es el precio de un cesta de bienes que representa por ejemplo, el conusmo de un agente económico para cada momento de su vida, o cual será el precio de un bien que lo compramos hoy pero que sus cualidades se conocerán sólo en algún momento futuro. Para acercarnos al concepto de precios en estos casos, es importante notar que las propiedades que los caracterizan son las de ser un funcional lineal sobre el espacio vectorial en el que está definido el conjunto de consumo y tal que, actuando sobre cualquier $x$ del cono positivo, el valor correspondiente, sea no negativo. Tendremos entonces que los precios quedarán representados por funcionales lineales sobre el espacio vectorial considerado para modelar la economía.
Si $X$ es un espacio vectorial, denotaremos el espacio de los funcionales lineales sobre $X$ por $X^*$ y la acción de $p \in X^*$ sobre $x \in X$ por $p\cdot x.$
De esta forma si $x \in X_{+}$ es un cesta de bienes, su valor quedará determinado por el producto interno, $p\cdot x$ siendo $p$ un elemento del dual topológico de $X$ que representa a los precios vigentes en la economía y tal que $p\cdot x \mayorque 0$ para todo $x \not= 0 \in X_+.$
A partir del teorema de representación de Riez, sabemos que para $X = \R^k,$ se verifica que $X^* = \R^k$ por lo que el sistema de precios corresponde a un vector de $\R^k.$ Pero este es uno de los pocos casos en los que el dual coincide con el espacio original (o primal). Por ejemplo, si $X = L_h[T]$ con $1 \leq h \menorque \infty$ como es bien sabido, el dual de $L_h[T]$ es $L_q[T]$ donde $1/h + 1/q = 1.$ Para todo $h \not= 2$ el primal y su dual serán diferentes. Se verificará $L_h[T]=L_q[T]$ si y solo si $h = 2.$ Los espacios vectoriales, $L_h$ con $h = 2$ y $\R^k$ son todos en los que el primal y su dual coinciden.
Para economías cuyos conjuntos de consumo correponden al cono positivo de $L_h[T]\; 1 \menorque h \menorque \infty$ un sistema de precios $p$ corresponde a un funcional lineal positivo definido sobre $L_h[T]$ es decir, a un elemento de $L_q[T]$ que verifica además la condición $p\cdot x \mayorque 0$ para todo $x \not= 0 \in L_{h+}[T].$ Por lo que, en estas economías cuando rige un sistema de precios $p$ el valor de una cesta de bienes, estará dado por el número, $p\cdot x = \int_{[0,T]}p(t)x(t)dt.$
Si, como lo hicimos anteriormente, consideramos que las preferencias de los consumidores se representan por funciones de utilidad $u \colon X_{+} \rightarrow \R$ y que disponen de dotaciones iniciales $w \in X_{+}$ siendo $w \not= 0,$ el problema del consumidor puede representarse, mediante el programa de optimización, \begin{equation}\label{equations:pci} \max_{x \in X_+}u(x), s.a,\; px \leq pw. \end{equation} Si bien el problema es formalmente igual al ya considerado para el caso que corresponde a las llamadas economías finitas (modeladas en $\R^n$), véase (\ref{equation:pfe}), la complejidad matemática del actual problema es bastante mayor.
De acuerdo a [AM], si para este problema existe alguna solución $x(p,w),$ ella debe verificar las condiciones de primer orden. $$u'(x(p, w) - \lambda p = 0$$ además de la restricción $p[x(p, w) - w] = 0 $ siendo $\lambda$ el multiplicador de Lagrange.
El lector debe notar que la derivada corresponde en este caso a una G-derivada de una función de utilidad CDA, pues ella está definida únicamente en el cono positivo de $X,$ el que como es habitual para espacios de Banach, tiene interior vacío. Si bien esto es formalmente igual al problema de dimensión finita, la existencia de la demanda como función de los precios no es un resultado trivial, pues el teorema de la función implícita clásico deja ahora de poder aplicarse.
No obstante, es posible mostrar que la demanda $x\colon X^*_+ \rightarrow X$ es una función CDA de los precios, y que basta considerar que $u(x) \in CDA^2$ para que sea además, G-derivable en las direcciones admisibles.
Otras aplicaciones del teorema de la función implícita a economías cuyos conjuntos de consumo corresponden a subconjuntos de espacios de Banach podrá encontrarse en [AP], en [Ac] y en [AcC].
La economía matemática y en general la teoría económica en su forma moderna, altamente formalizada, presenta interesantes desafíos matemáticos, que requieren para su resolución de un conocimiento importante de esta herramienta. Los problemas que se presentan surgen de la realidad económica, la formalización creciente de la teoría económica y la ductilidad de la matemática moderna poshilbertiana permiten plantearlos en forma lógicamente correcta y desafiar a los matemáticos a encontrar soluciones nuevas a viejos problemas, planteados de forma nueva o bien nuevos problemas que surgen de la creciente actividad económica de la humanidad.
