Este manuscrito está dedicado a la memoria de Antonmaria Minzoni, discutimos una de sus contribuciones al mundo de las matemáticas. Curiosamente, ésta no se encuentra en ninguna revista científica ni en sus propios libros. En sus aportes a la ciencia, «Tim» me dio estos resultados para incluirlos en mi tesis de licenciatura, convirtiéndola de este modo, en lo que él consideraba una tesis en sensu stricto.
A finales del siglo pasado, un artículo cautivó la observación de Minzoni con un resultado numérico a un problema en relatividad general. Este resultado tiene una aproximación asintótica que aquí describimos. Para ello, primero construiremos parte de la historia y las ecuaciones que conforman la teoría de la relatividad general de Einstein. Veremos cómo es posible el colapso de la materia en una configuración especial con la posibilidad de generar un agujero negro.
La cosmología es probablemente una de las ciencias más apasionantes que tenemos. Ésta se originó desde el primer momento en que la gente vio en la obscuridad de la noche la sutil regularidad de los astros. Los dotaron de nombres en leyendas de héroes y deidades, a veces sólo los nombraron como los animales del entorno y de su cotidianidad. Es así que nos hemos preguntado desde tiempos remotos por nuestro lugar en el mundo y el universo. El enfoque ahora ha cambiado, la distinción entre universo y mundo es casi tajante. En los orígenes de la civilización, esto no era así, eran lo mismo, el cosmos. La cosmología, generalmente, planteaba a la Tierra como el centro del universo, el mundo abarcaba desde las estrellas lejanas hasta los confines de cada inframundo.
Para nuestros ancestros en la antigüedad, al igual que para nosotros, las preguntas ¿de dónde venimos?, ¿qué hacemos aquí?, ¿cuál es nuestro fin? —si hay alguno—, ¿hay algún ser supremo que nos ha puesto en este tiempo y lugar?, y el resto de incógnitas imaginables fueron y son uno de los grandes ejes del pensamiento. Estas son las ideas que desembocaron en la teoría general de la relatividad de Albert Einstein (1879-1955), la cual necesitó un largo recorrido pasando por exponentes que aún reverberan en nuestras mentes como Pitágoras de Samos (569-475 a. n. e.), Aristóteles el Estagirita
(384-322 a. n. e.), Platón (427-347 a. n. e.) y Claudio Ptolomeo (100-168) en el mundo antiguo, o Nicolás Copérnico (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601), Johannes Kepler (1571-1630) y Galileo Galilei (1564-1642) quienes en el siglo XVI quiebran los estigmas antiguos. Sólo después vinieron Isaac Newton (1643-1727) y James Clerk Maxwell (1831-1879) caracterizando el inicio de la ciencia moderna. (Véase p.e. [EI93], [Koe81].)
Gracias a Newton y a Maxwell, el siglo XIX se caracterizó por los avances realizados en la mecánica clásica y la electrodinámica. Los físicos de esa época creían que de ese momento en adelante solamente tratarían de encontrar y calibrar pequeños detalles de la teoría; así lo afirmaba Lord Kelvin (1824-1907), por ejemplo. Sabemos que no fue así, pero lo cierto es que estas dos ramas de la física aportaron la mayoría de los conceptos que utilizamos actualmente. Por ejemplo, de las ecuaciones de Maxwell es posible deducir la ecuación de onda, y ahí, el cálculo en el vacío predice que la velocidad de la luz $c$ es $\sqrt{\mu_o\varepsilon_o}$, siendo $\mu_o$ y $\varepsilon_o$ la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del vacío, respectivamente.
Sin embargo, estas teorías son incompatibles. Predicen con exactitud fenómenos relacionados con cada una de ellas, pero aún así, no es posible, por ejemplo, hacer predicciones de lo que sucedería si se toman partículas cargadas en movimiento. Esta dificultad llevó a gente como Henri Poincaré (1854-1912) a estudiar lo que pasaría si existiera, o no, un límite en la transmisión de las señales físicas, véase por ejemplo [Auf99].
Fue un gran siglo para la ciencia, ideas fluían por todos lados, la presencia mítica del éter con su ruido, la incomprensión de la estructura espacio-temporal del mundo físico y con ella las correcciones de una teoría con las manos en la otra. Sin embargo, esto no funcionaba, faltaba algo que diera un vuelco radical.
Frente a dichas disonancias, los caminos que se tomaron fueron varios, así científicos de la época tomaban las ideas más importantes de una u otra teoría para unificarlas. Uno de estos enfoques se basaba en las predicciones y confirmaciones tanto de la mecánica como de la electrodinámica. Las leyes de Maxwell, por ejemplo, predecían una velocidad de la luz constante en el vacío; así, de existir el éter, la mecánica clásica mostraría una corrección en $c$ según la dirección en la que se midiera. Tendríamos el movimiento relativo que tenemos en el éter y así el marco de referencia universal donde todo debe ser medido.
En 1886 el físico experimental polaco Albert Michelson (1852-1931) y su amigo, el químico estadounidense, Edward Morley (1838-1923) intentaron medir la velocidad que tenemos con respecto al éter. Para ello, crearon los llamados interferómetros. Primero, aprovechando tanto la velocidad de rotación como la de traslación de la Tierra, midieron la velocidad de la luz en distintas direcciones; no se detectó ninguna variación. Tal vez los rayos de luz, al entrar en la atmósfera terrestre, adoptaban la misma velocidad que el medio, pues la Tierra llevaba con ella una porción del éter.
Mejoraron el aparato con espejos semireflejantes, moviendo los espejos lograron que la señal recorriera distancias iguales con movimientos distintos. El experimento resultó ser, en aquella época, otra vez un fracaso: ¡la velocidad de la luz es constante!
Para responder cómo era posible que la luz tuviera una velocidad constante, se plantearon teorías que alteraban el mítico éter o la geometría circundante. Entre otras rutas, el físico inglés Woldemar Voigt (1850-1919) mencionó por primera vez, en 1887, un parapeto geométrico, en el cual se observaba la ecuación de onda y sus cambios a través del tiempo en un conjunto espacio-temporal. Tal vez el espacio-tiempo de Minkowski se originó de esta invención y sólo apareció después de la formulación de la relatividad especial.
La idea del espacio-tiempo tetradimensional de Hermann Minkowski (1864-1909) no hubiera sido posible sin las transformaciones de Lorentz que remplazarían a las de Galileo al permitir la invariancia del electromagnetismo maxwelliano. Con el experimento de Michelson y Morley se mostraba que la velocidad de la luz era constante sin importar el movimiento del medio en el cual se mida. La dificultad aparece en la posibilidad de creer que esto puede suceder: ¿Qué pasa si me muevo a una velocidad constante cercana a la de la luz? Es más lento el rayo de luz que me alcanza en el movimiento que la velocidad del que me confronta cara a cara
, pero No, el experimento muestra que esto no es así, ¡su velocidad es igual no importa el ángulo de incidencia!
*El libro de Alan Lightman, Los sueños de Einstein, muestra la dirección de éstas y otras ideas al interpretar los recuerdos relativistas de los viajes oníricos de su creador.
Cambiemos un poco las ideas de Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) para comprender esto. Si nos movemos y la velocidad de la luz es la misma no importa de dónde provenga, entonces, algo está pasando con los parámetros que nos permiten medir la velocidad. Es decir, dado que $v = d/t$, la distancia o el tiempo en que medimos están cambiando, siendo posible que se alteren simultáneamente. Cuando la luz viaja en una dirección dada, entonces recorre una distancia $d_\text{ luz} = ct$, si nosotros tenemos un movimiento en la misma dirección a velocidad $v$, entonces recorreremos una distancia $d_{v} = vt$ en ese sentido. De este modo, el rayo (o el fotón) se alejaría de nosotros una distancia $d_\text{ luz} - d_{v}$, que resulta ser distinto de $ct$. Es decir, la distancia tendría que ser mayor, o dado que esa distancia es $(c-v)t$, sería posible que el tiempo se dilatara. Lorentz encontró que ambas cosas sucedían formulando sus transformaciones como: \begin{equation*} x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} }}, \qquad\qquad t' = \frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} }}, \end{equation*} donde el sistema primado es el que lleva la velocidad $v$, o de modo inverso, el no primado tiene la velocidad $-v$ respecto al primero. (Véase, p.e. [Wal84].)
Hay que notar que, cuando las velocidades con las que se mueven los marcos de referencia son muy pequeñas, se obtiene una aproximación de las transformaciones de Galileo. Lorentz no buscaba entender el cambio de las distancias o de los tiempos, no le importaba lo que esto significaba físicamente, él quería encontrar el cambio de coordenadas bajo el cual las leyes de Maxwell permanecieran invariantes. Aquí es donde Albert Einstein aparece.
La leyenda de Einstein comienza en 1905 cuando escribe tres artículos en los Annalen der Physik. Él era sólo perito de tercera clase en el departamento de patentes en la capital Suiza. Después de entender cómo organizar sus tareas dentro del departamento, aprende cómo tener tiempo para sus estudios y reflexiones sobre la física teórica. Así, de 1901 a 1905, sin acceso a bibliotecas y otras facilidades universitarias comienza a publicar sus artículos. Uno de estos artículos es un engrane revolucionador de la ciencia; con él entra en la escena de la física al interpretar las transformaciones de Lorentz en Zur Elektrodynamik bewegter Körper (es decir, Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento
). Explica lo que sucede con partículas cargadas en movimiento, e incluso lo que sucede al tomar velocidades próximas a la de la luz. Analiza el hecho de que la luz es un límite en la transmisión de señales, y por ello, el tiempo deja de ser absoluto, no es posible sincronizar relojes para dos sistemas de referencia distintos.
El mismo Lorentz había publicado en 1892 La théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants (es decir, La teoría electromagnética de Maxwell y sus aplicaciones a los cuerpos en movimiento
), que es fundamental para el artículo de Einstein. Sin embargo el vuelco en la física con la teoría de la relatividad especial sólo se da con la interpretación de Einstein.
Con esta nueva teoría, Einstein también dio un paso hacia los Gedankenexperiment o experimentos mentales. Con ellos se generaron ideas y problemas que eran resolubles en la mente. Dio lugar a que se entendiera la pérdida del concepto de simultaneidad y cómo las cosas se ven en el tiempo. Por ejemplo, cuando un astrónomo observa a Alfa Centauri sólo entiende lo que pasó hace cuatro años. Se entendió así que la gente vive el pasado de su entorno. Los experimentos mentales tuvieron mayor fuerza con la teoría de la relatividad general y gracias a ella se habló, al encontrar la equivalencia entre gravedad y aceleración, por ejemplo, de fenómenos como el efecto doppler relativista (o corrimiento al rojo) o como la deflexión de los rayos de luz, que pudo ser medida al observar el eclipse solar del 29 de mayo de 1919.
La novedosa teoría de la relatividad especial y sus resultados reflejaban correcciones mínimas. Un ejemplo es la relación relativista para el cambio de masa $m = {m_o}/{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, donde el denominador es próximo a $1$, pues $|v| \ll c$. Un satélite girando en torno a la Tierra con una velocidad de $8\,\text{km/s}$ tiene una corrección de dos a tres mil millonésimas partes por ciento de su peso. Además, la relatividad especial sólo resuelve los impases cuando los marcos de referencia tienen movimientos constantes y rectilíneos entre ellos. Aún así, se generó un nuevo objetivo para el trabajo de la gente de ciencia, la unificación.
En Francia, Poincaré comienza a estudiar la incompatibilidad de la teoría de la relatividad especial con la gravitación newtoniana. Se emprende el camino y es así como en 1907, Einstein trata de tomar el concepto de la gravitación de la manera que ya lo ha hecho Pierre-Simon Laplace (1749-1827), en el intento de responder la pregunta de Poincaré. No se encuentran resultados satisfactorios de estos trabajos, pero le dan la idea o más precisamente, la esperanza de encontrar la forma de resolver el problema con el perihelio de Mercurio, así como, la intuición de que la luz ha de curvarse en presencia de gravedad y que el efecto doppler ha de ser extendido de las ondas sonoras a la luz. En esta línea se trabaja en las teorías escalares.
Es curioso cómo las ideas vienen y van; por ejemplo, unos años antes, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) había intentado medir desde tres picos en los Alpes, los rayos de luz y su deflexión, para comprender la curvatura del universo. Él se preguntaba por qué el espacio ha de ser euclidiano. Claro, la respuesta reafirmaría sus dudas, pero su solución no sería tan sencilla.
Es también en el año de 1907 cuando se genera el principio de equivalencia en su forma general, el cual dice que para cualquier marco de referencia de Lorentz, sin importar dónde o cuándo, todas las leyes de la física —excluyendo las relativas a la gravitación— deben ser invariantes y tomar su forma familiar en la teoría de la relatividad especial.
Es una época de mucho trabajo y pocos resultados. En 1912, Einstein trabaja junto con Marcel Grossman (1878-1936) e intentan ver cómo englobar el problema de unificar los movimientos rectilíneos permitiendo aceleraciones con base en la geometría riemanniana: esto muestra que para incluir la gravitación en la teoría de la relatividad especial, hay que relacionar el tensor de energía-momento del espacio-tiempo con el tensor métrico de la curvatura, es decir, en sus propios símbolos: $T_{\mu\nu}\to g_{\mu\nu}$.
En esta época, Einstein también trabaja con Gunnar Nordström (1881-1923) en las teorías escalares. No se alcanza una teoría gravitatoria satisfactoria, pues las ecuaciones encontradas no se transforman de manera covariante, es decir, sin que cambien bajo transformaciones de coordenadas. Sin embargo, con estas fórmulas imprecisas Einstein es capaz de calcular y predecir cualitativamente algunos resultados.
Trabaja con Adriaan Daniël Fokker (1887-1972) en la misma teoría escalar buscando expresiones que relacionen la métrica de Minkowski $\eta_{ij}$ con la métrica del espacio-tiempo, $g_{ij}=\varphi(x)\eta_{ij}$. ¡Sin éxito! Vuelve a la idea que tenía con Grossman.
Cuando Einstein comienza a trabajar con Wander Johannes de Haas (1878-1960) y encontraron el efecto que lleva su nombre, los vagos resultados desilucionan a Einstein. Sin embargo, en su visita a Gotinga, en 1915, lo escucha el gran matemático David Hilbert (1862-1943) quien se interesó por la gravitación y puso sus engranes a trabajar en el mismo problema.
En octubre le comentan a Einstein que Hilbert está convencido de que la teoría que él y Grossman han creado, no tiene fundamentos ni esperanzas. Así, con reforzado entusiasmo, retoma el camino y manda semanalmente cuatro cartas con resultados a la Academia de Prusiana de las Ciencias. Del jueves 4 de noviembre, con su primera carta, al 25 de noviembre, Einstein crea, transforma, va y vuelve para finalmente descartar totalmente todas sus afirmaciones en las tres cartas anteriores y publicar las ecuaciones correctas del campo gravitatorio:
\begin{equation*} R_{\mu\nu}=R\Big(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2} T_{\mu\nu}\Big). \end{equation*}
Parece ser que al mismo tiempo que mantenía correspondencia con la Academia de Prusiana de Ciencias, Einstein mantenía contacto por escrito con Hilbert. Se conocen ocho cartas de su correspondecia. El 14 de noviembre, Hilbert comenta que ya sabe cuál es la inconsistencia y que de hecho la ha resuelto; invita a Einstein a ir a Gotinga. Se sabe que en este interludio de las cuatro cartas, Hilbert obtuvo las ecuaciones de campo, de hecho, dos semanas antes de que Einstein mandara la cuarta carta a la Academia, Hilbert le dice a Einstein que tiene las ecuaciones correctas. Además, el 20 de noviembre Hilbert presenta las ecuaciones precisas, deducidas de un principio variacional para un tensor de energía particular. En su publicación, Hilbert se refiere a la materia de modo no muy físico, pero aún así le da crédito a Einstein y presenta las cuatro comunicaciones con él. De todos modos, las ecuaciones de campo se le reconocen a Einstein, pues aunque a finales de 1915, los dos se pelean, es en marzo de 1916 cuando Einstein publica finalmente el trabajo con el cual la teoría de la relatividad general es fraguada; gracias al trabajo de estas dos mentes geniales.
Tal vez la historia podría acabar con un relato tanto asombroso como doloroso. En el año de la publicación de la teoría de la relatividad general, el alemán Karl Schwarzschild (1873-1916) regresa del frente de batalla, se encuentra con las ecuaciones de campo y da la primera solución a ellas. Poco después muere. Es bajo la solución de Schwarzschild que haremos más adelante una generalización del colapso esférico que sólo apareció a finales del siglo pasado por Matthew William Choptuik (1961- ), [Cho93].
Es también, pocos años después de la publicación de la teoría de la relatividad general, que Arthur Stanley Eddington (1882-1944) parte al África para registrar la desviación de la luz bajo el campo gravitatorio del Sol, pues la teoría predice que en un eclipse total, algunas estrellas que se encuentran detrás de nuestro astro presentan pequeñas aberraciones de unos cuantos segundos de grado. La historia parece confusa, y no es del todo cierto que Eddington haya demostrado la deflexión de los rayos de luz con las fotografías borrosas que obtuvo por culpa de las nubes. Sin embargo, es con ellas que la teoría se consolida.
Otro hecho curioso, con un avance científico de gran importancia es la corrección que realiza la relatividad general acerca de las predicciones de la orbita de Mercurio. La ley de la gravitación de Newton tenía errores medibles en el desplazamiento de este planeta, de hecho, se había llegado a creer que existía un planeta más cercano al Sol que denominaron Vulcano que provocaba estas anomalías en el perihelio de Mercurio. Pero, al calcular relativistamente la trayectoria coincidía impresionantemente, con lo cual la relatividad ganó contra la mecánica clásica.
Otro tema que abordaremos en el desarrollo de este trabajo es la formación de los agujeros negros que la teoría predijo varias décadas antes de que los astrónomos los registraran en sus almanaques. Es así como la relatividad general se consolidó como el primer sistema que nos presentaba el mundo antes de que si quiera se hubiera registrado. Hay que ser justos, Laplace ya se había preguntado en 1796 si existiría algo tan masivo que ni la luz pudiera escapar. El alemán Johann Georg von Soldner (1776-1833), en 1801, había calculado la deflexión newtoniana de un corpúsculo de luz pasando cerca de una estrella. En 1920 John August Anderson (1876-1959) dice que si el volumen del Sol se condensara en un radio de $1.47\,\text{km}$, entonces el índice de refracción iría al infinito y sería una estrella negra.
Pero nos estamos adelantando un poco a nuestro relato, aunque hay que mencionar que la fama de los Gedankenexperiment es tal, que posiblemente sean el camino usado por un gran número de físicos teóricos de la actualidad, ya que plantean la posibilidad de llegar a conclusiones válidas con base en el pensamiento puro, a la manera de Aristóteles. El cambio fundamental respecto a las ideas de los griegos, comparadas con la genialidad de la física en su aspecto más teórico, es el hecho de que hoy en día nos plantamos con los pies en la teoría y la mente en la imaginación.
Achtung!
Esta sección probablemente es demasiado técnica. Pretendemos dar una pincelada de cómo se encuentran las ecuaciones de campo de Einstein \eqref{eq:condensada}. Para ello es necesario entender un poco de álgebra tensorial y geometría riemanniana. Se puede saltar a la siguiente sección, pues lo importante será el desenlace de la ecuación \eqref{SW}.
En la teoría de la relatividad general se emplea usualmente la notación de las sumas de Einstein. Ésta se basa en el principio de que si $x = (x^1,\,x^2,\,x^3,\,x^4)^T$ es un vector covariante (digamos columna
) y $y = (y_1,\,y_2,\,y_3,\,y_4)$ un vector contravariante (digamos renglón), su producto interno $yx = \langle y^T,\,x\rangle = \sum_{i = 1}^4 y_ix^i$ tiene una cierta repetición de índices $i$ tanto en la suma como en los componentes de los vectores; además sólo puede tomar valores de $1$ a $4$. Si convenimos que sólo podemos hacer sumas que cancelen un supraíndice (covariante) con un subíndice (contravariante), entonces, no hace falta el símbolo $\sum$; escribimos $x^iy_i = y_ix^i$.
Esto es muy cómodo, pues podemos pensar a la métrica $g_{ij}$ del espacio-tiempo como una métrica pseudo-riemanniana del tipo $(1,\,3)$ e interpretarla como una matriz en $\mathbb{R}^{4 \times 4}$ con tres direcciones características de eigenvalores positivos y una más con eigenvalor negativo. Así, la norma del vector $x$ bajo esta métrica es simplemente $\|x\|^2 = g_{ij}x^ix^j$ que usualmente se escribiría como $\|x\|^2 = \langle x,\,gx\rangle = \sum_{i,j = 1}^4 g_{ij}x^ix^j$; vemos que es mucho más compacto con la notación de Einstein. En este sentido, vamos entender el elemento de longitud identificado con el campo gravitacional como $\dx s^2 = g_{ij}\dx x^i\dx x^j$. Además, $\dx\Omega = \sqrt{-g}\dx^4x$ será el elemento de volumen donde $g = \det(g_{ij}) \menorque 0$. (Véase, p.e. [DFN92], [Wal84].)
El tensor de curvatura se define rigurosamente como $$R_{iklm} \;=\; \frac{1}{2}\Bigg(\frac{\pa^2g_{im}}{\pa x^k\pa x^l}+\frac{\pa^2g_{kl}}{\pa x^i\pa x^m}-\frac{\pa^2g_{il}}{\pa x^k\pa x^m}-\frac{\pa^2g_{km}}{\pa x^i\pa x^l}\Bigg)+g_{np}(\Gamma^n_{kl}\Gamma^p_{im}-\Gamma^n_{km}\Gamma^p_{il}),$$ donde $\Gamma^k_{ij}$ es la conexión compatible con la métrica y el tensor de Ricci es $$R_{ik} \;=\; R^q_{iqk} \;=\; g^{lm}R_{limk}, \qquad\text{o si se desea} \qquad R_{ik} \;=\; \frac{\pa\Gamma^l_{ik}}{\pa x^l}-\frac{\pa\Gamma^l_{il}}{\pa x^k}+\Gamma^l_{ik}\Gamma^m_{lm}-\Gamma^m_{il}\Gamma^l_{km},$$ la curvatura escalar es $R=g^{ik}R_{ik}=g^{il}g^{km}R_{iklm}$.
La ecuación de onda puede deducirse de modo variacional, [Cas04]. Lo haremos de modo análogo para las ecuaciones de campo. En este caso definimos la acción como $S = S_g+S_m$, donde la contribución del campo en ausencia de materia es $S_g$, llamada acción de Hilbert, está dada por $$S_g \;=\; \int R\,\dx\Omega,$$ la contribución dada por la materia es $S_m$. Ambas se toman en $\R^4$, para variaciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange, vea el desarrollo en [Cas04], [DFN92], [Wal84].
Se puede mostrar que la variación $\delta S_g/\delta g^{ij}$ está dada por $$\frac{\delta S_g}{\delta g^{ij}} \;=\; \frac{\delta\int R\sqrt{-g}\,\dx^4x}{\delta g^{ij}} \;=\; \left(R_{ij}-\frac{1}{2} Rg_{ij}\right)\sqrt{-g}, \qquad \text{es decir,} \qquad \delta S_g \;=\; \int \left(R_{ij}-\frac{1}{2} Rg_{ij}\right)\,\delta g^{ij}\sqrt{-g}\,\dx^4x.$$ Generalmente ésta se normaliza como $$\delta S_g \;=\; \frac{c^3}{16\pi G}\int \left(R_{ik}-\frac{1}{2} R\,g_{ik}\right)\,\delta g^{ik}\sqrt{-g}\,\dx^4x.$$
Para la contribución de la acción de la materia, tomamos $S_m = \frac{1}{c}\int\Lambda\sqrt{-g}\,\dx^4x$, con $\Lambda$ una función determinada por ella. Obtenemos análogamente $\delta S_m/\delta g^{ik}$: \begin{equation} \label{masa} \frac{\Lambda}{\sqrt{-g}}\,\frac{\delta S_m}{\delta g^{ik}} \;=\; R_{ik}-\frac{1}{2} R\,g_{ik} \;=\; \frac{-16\pi G}{c^4}\,\frac{\delta S_g}{\delta g^{ik}}\,\frac{1}{\sqrt{-g}}. \end{equation} Estas ecuaciones suman como la variación total.
El tensor de energía momento $T_{ik}$ es equivalente a $-(2/c\sqrt{-g})(\delta S_m/\delta g^{ik})$, así, tomando el resultado directo de las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtiene: $$\frac{1}{\sqrt{-g}}\,\frac{\delta S_m}{\delta g^{ik}} \;=\; \frac{1}{\sqrt{-g}}\,\frac{\pa}{\pa g^{ik}}(\sqrt{-g}\,\Lambda)-\frac{\pa}{\pa x^l}\,\frac{\pa(\sqrt{-g}\,\Lambda)}{\pa(g^{ik}/\delta x^l)},$$ equivalente a tomar la métrica $g^{ik}$ como la de Minkowski, es decir, el equivalente de la métrica euclidiana para el espacio-tiempo, $g_{ij}$ es la métrica pseudo-riemanniana canónica.
Con la forma expresada para el tensor $T_{ik}$ podemos escribir la ecuación \eqref{masa} como \begin{equation} \label{eq:condensada} R_{ik}-\frac{1}{2} Rg_{ik} \;=\; \frac{8\pi G}{c^4}T_{ik}, \quad\text{ o análogamente }\quad R_{ik} \;=\; \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{ik}-\frac{1}{2} g_{ik}T\right), \end{equation} después de contraer los índices $R-2R=(8\pi G/c^4)T$ y al recordar que $R=g^{ik}R_{ik}$ es satisfecho.
La ecuación a la izquierda en \eqref{eq:condensada} tiene una belleza intrínseca digna de ser mencionada, su lado izquierdo posee la parte geométrica del campo mientras que su contra parte derecha se tiene la contribución física con la energía, es así como el signo de igual es la comunión entre matemática y fenomenología. Por otro lado, observamos que si tomamos un espacio sin energía ni momento, es decir, $T_{ik}=0$, entonces $R_{ik}=0$. Si $R_{ik}\equiv 0$ para un espacio vacío, entonces es claro que la métrica de Minkowski es una solución.
El problema resuelto por Schwarzschild unos meses después de la publicación de las ecuaciones de campo en el vacío de Einstein es sin lugar a dudas una de las soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein más importantes. Describe el campo exterior de un cuerpo esférico, corrigiendo de esta manera, los pequeños errores que produce la teoría newtoniana sobre el movimiento planetario en nuestro sistema solar. La deflexión de los rayos de luz, el corrimiento al rojo, así como, los efectos de enlongamiento del tiempo son sólo unas de las implicaciones del descubrimiento de esta solución.
Una de sus predicciones con mayor relevancia se refiere a la posibilidad de que una estrella implote, colapsándose en una singularidad; formando un agujero negro, que por causa de la conjetura de la censura cósmica no podrán ser vistos en su interior, sin embargo, la historia reciente es prometedora.*El 10 de abril de 2019 se publicó la primera fotografía de un agujero negro. Seguimos sin poder observar el interior de su horizonte, pero ahora tenemos datos sobre este coloso en la galaxia Meisser 87, en la constelación de Virgo: es tan masivo como $6.5 \times 10^9$ veces la masa del Sol. Observarlo no ha sido fácil, se han empleado ocho radiotelescopios en lugares distantes entre sí como son la Antártida, Chile, España y México que funcionan como uno solo, convirtiendo al planeta en un gran radiotelescopio. La verdad es que ya se tenían observaciones y datos desde 2017, pero al estar a $50$ millones de años luz, el equipo involucrado quería estar seguro de su descubrimiento.
En fin, tomemos un espacio tiempo tetradimensional $M^4$ con métrica $g$, considerando una simetría especial: todos los vectores del campo vectorial serán del tipo tiempo, es decir, $\langle v,\,v\rangle \menorque 0$; y toda foliación en la dirección temporal será una isometría, esto quiere decir que el espacio en principio es el mismo a través del tiempo. (Esto se conoce como un campo de Killing tipo temporal.)
Simplificaremos la notación de las sumas de Einstein tomando la métrica como una matriz $\mathbb{R}^{4 \times 4}$ $$g_{ij}=\left(\begin{array}{cc} -v^2 & 0 \\ 0 & h_{\mu\nu} \end{array}\right),$$ donde los vectores en el espacio-tiempo son eventos $E = [t,\, x,\, y,\, z]^T$ y así, el elemento de distancia será $\dx s^2 = (\dx E)^T g_{ij} \dx E$, para $\dx E = [\dx t,\, \dx x,\, \dx y,\, \dx z]^T$. Además, suponiendo una masa puntual en el origen, nos resulta útil utilizar coordenadas del sistema esférico, así \begin{equation} \label{SW} \dx s^2=-f(r)\dx t^2 + h(r)\dx r^2 + r^2(\dx \theta^2 + \sen^2\theta \, \dx\phi^2), \end{equation} de modo tal que vemos la métrica como $$g_{ij}=\left(\begin{array}{cccc} -f(r) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h(r) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2\sen^2\theta \end{array}\right),$$ lo cual tendrá un significado sencillo de entender, manejar y resolver. Hay que notar que el jacobiano $r^2(\dx\theta^2 + \sen^2\theta \, \dx\phi^2)$ es también la longitud de arco esférico.
Estas simetrías simplificaron el problema de encontrar diez funciones ($v$ y cada componente $h_{\mu\nu}$) en tres variables, a solamente encontrar $f(r)$ y $h(r)$; dos funciones en una sola variable.
Como queremos comprender la geometría del espacio-tiempo en presencia de una masa $M$ localizada en el origen de nuestro sistema, la solución será la métrica que emplearemos cuando acomodamos
un cuerpo masivo en el origen de nuestro sistema de coordenadas. Esperaremos que el espacio-tiempo sea, por lo tanto, plano
lejos del origen. Es por ello que tomaremos (valga el abuso de notación) $f(\infty) = h(\infty) = 1$.
Hemos mencionado que tanto las velocidades como las aceleraciones producen un cambio en la medición del tiempo, así, un pulso emitido a una distancia $r_1$ será observada con un intervalo distinto en $r_2$, que será modificado por el factor $$\left[1 - \Big( \frac{M}{r_1} - \frac{M}{r_2} \Big) \right].$$ De esta forma, si tomamos $r_1$ como $r$ y $r_2\to\infty$, cada reloj con el que medimos el tiempo está influenciado por un factor de $[1-M/r]$. Utilizando el recíproco para acelerar cada reloj con este factor, el tiempo se medirá igual en todos los eventos del espacio-tiempo, sin importar que estos tengan las mismas coordenadas $\theta$ y $\phi$.
Con lo cual, al acelerar los relojes, la diferencia del tiempo $\Delta t$ será una menor $\Delta\tau$, la cual está dada en términos de la diferencia original $$\Delta\tau = \left( 1 - \frac{M}{r} \right)\Delta t,$$ o preferentemente $$\Delta\tau^2=\left( 1 - \frac{2M}{r} + \frac{M^2}{r^2} \right) \Delta t^2.$$
Si olvidamos el término cuadrático y observamos que $\Delta r = \Delta\theta = \Delta\phi = 0$ en el transcurso del tiempo, podemos identificar $f(r)$ en la métrica ( 3) como $$f(r)=1-\frac{2M}{r}.$$ Tomando la curvatura gaussiana $k(r)$ para las componentes radial y temporal, tenemos que $k(r)=f(r)h(r)$ es constante para cada radio, así, reescalando tenemos que $h(r)=f^{-1}(r)$. De este modo obtenemos la solución de Schwarzschild: \begin{equation} \label{Schw} \dx s^2 = -\left( 1 - \frac{2M}{r}\right) \dx t^2 + \left( 1 - \frac{2M}{r} \right)^{-1} \dx r^2 + r^2(\dx \theta^2 + \sen^2\theta \, \dx\phi^2), \end{equation} que nos dice cómo varía la longitud de arco según la posición de un evento.
Observamos que hay un cambio de signo cuando $r$ está por arriba o por abajo de $2M$; este es el radio de Schwarzschild y cuando la masa de un objeto está confinada dentro de este radio, ella no puede escapar, de hecho, se puede mostrar que ni si quiera la luz puede hacerlo. Por ello, se le conoce como el horizonte del agujero negro y es así como éste define una especie de escudo oscuro que no permitirá ver su interior.
El análisis del comportamiento de los cuerpos de prueba y los rayos de luz en la región exterior de la solución de Schwarzschild ($r \mayorque 2M$) es de gran importancia, pues es el lugar geométrico de aquello que se encuentra fuera del horizonte. Podremos describir cómo reaccionan objetos pequeños en regiones como las dadas cerca de las estrellas con altas densidades, así como, de objetos totalmente colapsados.
Los resultados para una región donde el campo es débil ($r\gg 2M$) serán la analogía para sectores exteriores de cuerpos ordinarios como nuestro Sol, cuyo radio de Schwarzschild es de solamente $3\,\text{km}$. Dentro de la amplia gama de fenómenos que pueden describirse con ayuda de \eqref{Schw}, tenemos tres muy importantes.
De hecho, este fenómeno lo podemos ver todos los días, pues explica por qué los atardeceres son ligeramente más rojizos que los amaneceres; nos alejamos del Sol en lugar de aproximarnos.
A partir de la ecuación diferencia ordinaria asociada, notamos que la distancia $r$ de un objeto con momento angular $L$ decrece para $r \menorque R_-$ y para $r \mayorque R_-$ la órbita converge a un radio $R_+$, donde $$R_{\pm} = \frac{L^2 \pm \sqrt{L^4 - 12 M^2 L^2}}{2M} = \frac{L^2 \pm L^2\,\sqrt{1 - 12M^2/L^2}}{2M}.$$ Es decir, con $L^2 \menorque 12M^2$ no existen estos equilibrios y toda órbita es tragada hacia el origen del sistema. Un simple cálculo muestra que $R_- \in (3M,\,6M)$ y $R_+ \mayorque 6M$, es decir que no hay órbitas estables para $r \leq 6M$. En el caso de nuestro Sol tenemos que $6M_{\odot}\cong 8.8598\times 10^5\,\text{cm}$ (en unidades relativistas, es decir, tomando $c=1$). La gravitación clásica evalúa la distancia del Sol a Vulcano como menor, lo cual mostró que la existencia de este planeta fue solamente un sueño.
Finalizamos este trabajo con el desarrollo que le debemos a Antonmaria Minzoni Alessio (1950-2017). Pocos meses antes de darme su manuscrito se había negado a ser sinodal de mi tesis de licenciatura [Cas04], pues no aportaba ningún resultado nuevo y una tesis debía de hacerlo. Aún así dijo que el trabajo era sobresaliente y que cubriría muchos modos de titularse en física, pero que en matemáticas se requería de una ¡tesis! Es así como él hizo de ese trabajo una tesis en el sentido estricto. Sin embargo, abandonó su resultado ahí y nunca terminé de entender el porqué. Tal vez podemos citar [Cor+02] donde un poco de su esencia existe.
Es curioso que las ecuaciones de Schwarzschild tienen dos maneras distintas de escribirse según se tome $f(r)$ o $h(r)$ en \eqref{SW} como la función original y la otra como su recíproco. En este trabajo $f(r)$ es la función dominante y los resultados más adelante siguen de manera natural. Minzoni acostumbraba usar $h(r)$ como la función dominante, y su análisis asintótico es considerablemente más complejo, por ello él llevaba un doble mérito.
Tomaremos nuevamente las ecuaciones de Einstein en el vacío y pondremos en el origen del espacio-tiempo una cáscara esférica de masa $M$ y radio $R(t)$, suponiendo que este radio puede variar con el tiempo. Dada la simetría esférica obtendremos la métrica \eqref{SW}, donde de igual forma, se encuentra que $h(r)$ es el recíproco de $f(r)$ y ésta debe ser nuevamente $f(r) = 1 - {C}/{r}$, con $C$ una constate. Hemos cambiado las condiciones del problema, así esta constante debe ser distinta.
Para radios $r \mayorque R(t)$, el espacio fuera de la cáscara, tenemos el límite usual en el que la masa del objeto la podemos tomar puntualmente en el origen; recobramos la solución de Schwarzschild \eqref{Schw}, es decir, $f(r) = 1 - {2M}/{r}$, cuando $r \mayorque R(t)$.
En el interior de la cáscara tenemos un nuevo problema. Como en mecánica clásica, se puede mostrar que el objeto de prueba en el interior no siente la masa circundante; es jalado
en todas las direcciones por igual. El espacio es plano
y su geometría es la de Minkowski; $f(r) = 1$, para $r \menorque R(t)$.
Bien, parece que tenemos el problema resuelto, $$ \dx s^2 \;=\; -f(r)\,\dx t^2 + \frac{\dx r^2}{f(r)} + r^2(\dx\theta^2 + \sen^2\theta\,\dx\phi^2) \qquad\text{con}\qquad f(r) \;=\; \begin{cases} 1, & r \menorque R(t) \\ 1 - {2M}/{r}, & r \mayorque R(t) \end{cases}. $$ Sin embargo, de este modo la métrica es discontinua en $r = R(t)$. Necesitamos una métrica para la superficie de la cáscara, y ésta debe ser de la forma $$ \dx s^2 \;=\; -N(t)\,\dx t^2 + \frac{\dx r^2}{N(t)} + r^2(\dx\theta^2 + \sen^2\theta\,\dx\phi^2), $$ con $N(t) = N(t;\,R(t))$ una función que dependa del radio de la cáscara al tiempo $t$. Definimos $f_i(r,\,t) = 1$ y $f_e(r,\,t) = 1 - 2M/r$ para el interior y el exterior de la cáscara, respectivamente. Esperamos con $N(t)$ unir ambas soluciones de manera continua.
Este pegado necesita una cáscara con un cierto grosor, digamos $2\omega$. Conservamos las notaciones $f_i(r,\,t)$ y $f_e(r,\,t)$ para $r \menorque R(t) - \omega$ y $r \mayorque R(t) + \omega$, respectivamente.
Dado que $f(r) = 1 - C/r$ debe cumplirse, observamos al graficar este último sumando para toda $r$ que cualitativamente, si permitimos que $C$ dependa de $r$ para pegar continuamente las dos soluciones en el interior y en el exterior de la cáscara, obtenemos la figura 4. Sólo nos falta entonces comprender cómo es el término $C/r$ para el intervalo $(R(t) - \omega, \, R(t) + \omega)$.
Se ha llegado a una ecuación análoga a la que se obtiene en el desarrollo de la solución de Schwarzschild, ahora tomaremos esa como \begin{equation} \label{eq:omitir} f'(r) - \frac{1}{r}(1 - f(r)) + H_{cm}(r,\,t) \;=\; 0, \end{equation} donde el responsable por la presencia de materia en la cáscara será el campo de materia $H_{cm}$. De los principios físicos, lo escribimos como $$ H_{cm}(r,\,t) \;=\; 4\pi r\frac{Q(t)}{r^2} \, H\!\left(\frac{r - R(t)}{\omega} \right), $$ donde $Q(t)/r^2$ está relacionado con la densidad de materia en la cáscara, $4\pi rH$ está relacionado con la superficie de la esfera y $H$ es una función que está normalizada por conveniencia con el grosor, veremos luego cómo se comportan estas expresiones. La solución de esta ecuación es analizada por Choptuik [Cho93] de modo numérico, aquí haremos el análisis asintótico de Minzoni y es por ello que despreciaremos el término $-(1 - f(r))/r$ para evitar el cálculo numérico; veremos más adelante que no perdemos consistencia en la solución.
Queremos resolver entonces \begin{equation*} f'(r) \;=\; -4\pi r\frac{Q(t)}{r^2} \, H\!\left(\frac{r - R(t)}{\omega} \right), \qquad\text{para}\qquad r \in (R(t) - \omega,\, R(t) + \omega). \end{equation*} Integrando de $R(t) - \omega$ a $r$, del teorema fundamental del cálculo, tenemos $$ f(r) - f\left( R(t) - \omega \right) \;=\; -4\pi Q(t) \int_{R(t) - \omega}^r \frac{1}{\eta} \, H\!\left(\frac{\eta - R(t)}{\omega} \right) \, \dx\eta.$$ Recordando que queremos la métrica de Minkowski para $r$ pequeño, tomamos $f\left( R(t) - \omega \right) = 1$. Para simplificar la integral tomaremos un ansatz al aproximar $$ H\!\left(\frac{\eta - R(t)}{\omega} \right) \;=\; \text{sech}^2\!\left(\frac{\eta - R(t)}{\omega} \right), $$ que es una función apropiada pues estamos concentrando la aportación de la materia de la cáscara alrededor de $R(t)$. Por otra parte, la elección de esta forma para $H$ tiene justificaciones sólidas al considerar la ecuación de sine-Gordon. (Algunos resultados de Minzoni en el área de esta ecuación se pueden ver en [CIM09], [MS97], [MSW04]).
Calculando la integral, tenemos \begin{eqnarray*} \int_{R(t) - \omega}^r \frac{1}{\eta} \, H\!\left(\frac{\eta - R(t)}{\omega} \right) \, \dx\eta &=& \int_{R(t) - \omega}^r \frac{1}{\eta} \, \text{sech}^2\!\left(\frac{\eta - R(t)}{\omega} \right) \, \dx\eta \;\approx\; \frac{1}{R(t)} \int_0^r \text{sech}^2\!\left(\frac{\eta - R(t)}{\omega} \right) \dx\eta \\ &\!=\!& \frac{1}{R(t)} \left[\omega \tanh\!\left(\frac{\eta - R(t)}{\omega} \right) \right]_0^r \;=\; \frac{\omega}{R(t)} \left[\tanh\!\left(\frac{r - R(t)}{\omega}\right) -\tanh\!\left(\!\frac{-R(t)}{\omega} \right) \right], \end{eqnarray*} pues en la segunda aproximación hemos tomado que $\omega$ es pequeño y como estamos integrando al rededor de $R(t)$, podemos intercambiar el factor $1/\eta$ por $1/R(t)$. Para compensar un poco esta pérdida, tomamos la integral desde $0$ hasta $r$. De esta forma, tenemos $$ f(r) \;=\; 1 - \frac{4\pi\omega Q(t)}{R(t)} \left[\tanh\!\left(\frac{\eta - R(t)}{\omega}\right) + \tanh\!\left(\!\frac{R(t)}{\omega} \right) \right] \quad\text{ y }\quad f\left( R(t) \right) \;=\; 1 - 4\pi Q(t) \left[\frac{\omega}{R(t)} \tanh\!\left(\frac{R(t)}{\omega} \right) \right]. $$ Notamos de la segunda igualdad y la continuidad que $h(r) = f^{-1}(r)$ está bien definido cuando $4 \pi \omega Q(t)$ es pequeño, pues, cuando $R(t) \to 0$, el factor $R^{-1}(t)\tanh(R(t)/\omega)$ tiene un límite finito.
Ahora veamos que omitir el término de en medio de \eqref{eq:omitir} era posible, pues éste es realmente despreciable: $$ \frac{1}{r}\left(1 - f(r)\right) \;=\; \frac{4\pi\omega Q(t)}{r\,R(t)} \left[\tanh\!\left(\frac{r - R(t)}{\omega}\right) + \tanh\!\left(\frac{R(t)}{\omega}\right) \right]. $$ Bien, como el valor del interior del corchete siempre es menor a $2$, $\omega$ logra que todo el término sea muy pequeño. Sin embargo, si $r \to 0$, podríamos tener problemas, cuyo caso no sucede si $r \menorque R(t) - \omega$, pues es la solución de Minkowski; así el término es nulo. Cuando es $R(t)$ quién tiende a $0$, como dijimos en el párrafo anterior, no produce ningún problema pues, al ser $h(r)$ no singular, el término $1 - f(r)$ tendrá un límite finito que sigue siendo controlado por $\omega$.
Caractericemos entonces $Q(t)$ y comprendamos el comportamiento de la solución. Es decir, si $f(r)$ se anula para algún radio, la razón de la masa $C/r$ en la figura 4 pasará el umbral al ser mayor a $1$; tendremos así, un horizonte (nos preocuparemos únicamente del exterior). Tenemos que comprender que nuestras aproximaciones nos alejan en el sentido cuantitativo de la solución real a nuestro problema, sin embargo, siguen siendo fieles en el ámbito cualitativo. Éste es precisamente el análisis que haremos en nuestra métrica para la cáscara esférica.
El umbral dará origen a lo que se conoce como una superficie atrapada (véase [Cas04]). Si el término $4\pi Q(t)\left[\omega\,\tanh\left(R(t)/\omega\right)\right]/R(t)$ es $1$, tenemos que la función $f(r)$ es nula y por lo tanto $h(r) = f^{-1}(r)$ está indeterminada: la métrica no tiene sentido en esta región del espacio-tiempo. Bien, veamos que según la construcción de $f(r)$ tendremos una cúspide en $r = R(t)$, no exactamente la función suave que trazamos en la figura 4. De esta forma, tenemos varios casos para nuestra función:
Nos centramos en la segunda intersección. Como para $r \mayorque R(t) + \omega$ se cumple que tanto la función que hemos construido como la solución de Schwarzschild tienen el mismo valor, entonces, tenemos una superficie que será atrapada en un tiempo futuro. Desde el exterior de la cáscara estaremos en el caso usual del colapso esférico, observando la condensación de nuestro objeto de prueba, este astro hueco.
Recordando las discusiones al respecto, necesitamos que la masa sea suficientemente grande en comparación con el radio. Si tuviéramos una masa como la del Sol, sería indispensable que $R(t) + \omega$ en el colapso alcanzara una magnitud menor a 3km. Lo cual implica, de hecho, una densidad en la cáscara muy elevada.
Así, para la intersección con el umbral fuera del radio $R(t)$ tenemos dos nuevas conclusiones. Si ésta se encuentra en el intervalo $\left(R(t),\,R(t) + \omega\right)$ tenemos en analogía al segundo punto, una superficie atrapada, el colapso de la cual nos llevará a la formación de un agujero negro. Sin embargo, es posible que dicha intersección se encuentre inicialmente fuera de la cáscara, logrando de esta manera, no sólo que encontremos una superficie atrapada, sino de hecho, un agujero negro.
Esta generalización es un bonito ejercicio sobre el colapso esférico usual, [Wal84]. Se puede calcular, como hemos dicho, el radio de Schwarzschild y saber en qué momento el umbral sobrepasa la cáscara en el colapso. Sin embargo, es interesante en muchos otros sentidos. El colapso garantiza que toda la materia se condensará en un punto, este artefacto matemático no resulta muy fácil de entender físicamente; resulta difícil entender en el Big Bang a toda la materia del universo en un único punto. Tal vez la necesidad de $\omega$ sea un camino para mostrar que la densidad de la materia tiene un límite así como existen muchos otros en la naturaleza: la velocidad de la luz $c$, la constante de Planck $\hbar$ o el cero absoluto en grados Kelvin, son sólo algunos ejemplos.
Parecía que entender cómo el colapso realmente ocurre sería una pregunta sin solución. Ahora, ésto ha cambiado y actualmente se propone que podemos observar el horizonte de los agujeros negros y con ellos entender parte de lo que ocurre en su interior. Nuevos caminos comienzan, los cuales seguramente nos llevarán a estudiar mucho más.
Quisiera expresar mi agradecimiento a la Dra. Beatriz Rumbos por la invitación a escribir este manuscrito, así como agradecer los comentarios de Armando Miguel Trejo Marrufo y Elisa T Hernández que ayudaron en gran medida a mejorar la presentación de este trabajo, los errores persistentes continúan siendo míos. También quiero agradecer a Pablo Padilla Longoria por ofrecerme y dirigirme la tesis de licenciatura con la que tanto aprendí. Este trabajo tiene el apoyo de la Asociación Mexicana de Cultura A. C.
