Una sorpresa que no siempre es agradable durante el primer año de la licenciatura en matemáticas es el curso que bajo distintos nombres introduce al estudiante al mundo de las demostraciones, empezando con el mínimo de los requisitos. La transición de un ambiente donde matemáticas consistía en el manejo elemental de fórmulas, o substituciones para resolver una ecuación
o un problema de aplicación
, a un curso conceptual basado en demostraciones suele ser complicada. En este camino hay muchos obstáculos y dificultades, desde mirar lo obvio con ojos nuevos o el cuidado de tener un lenguaje preciso, hasta la necesidad balancear la intuición y la abstracción en un subibaja
de muchos brazos.
La buena noticia es que en este viaje el estudiante tiene ahora un compañero experimentado y amable en el libro que estamos reseñando. Sé que sería mejor noticia tener a las autoras como profesoras del curso, pero si lo anterior no es posible tenemos como consuelo que parte de su entusiasmo se respira en el libro, y su voz nos lleva de la mano en este viaje maravilloso que es el aprendizaje de las matemáticas.
Si, como Lewis Carroll nos recuerda, es bueno comenzar por el principio, el libro que ahora reseñamos comienza con una introducción cuidadosa a algunas partes elementales de la lógica, tendiendo un puente entre el lenguaje usual e informal y el lenguaje formal de la matemática. Esta introducción precisa como debe de serlo, mantiene un aire alegre con ejemplos, fugas y recuadros, para no agobiar al viajero. Como una aplicación inmediata, el segundo capítulo provee una introducción a la teoría intuitiva de conjuntos. El objetivo es familiarizar al estudiante con los conceptos, construcciones y operaciones con conjuntos que forman gran parte del lenguaje común de la matemática, cuidando que se tenga precisión en su manejo. De nuevo, recuadros y figuras ayudan al lector a visualizar lo necesario.
Los dos capítulos siguientes, parte central del libro, introducen las nociones de relación y función. El desarrollo es cuidadoso, con motivaciones, ejemplos y dibujos como elementos de ayuda para la discusión de las varias propiedades de las relaciones y funciones. Como es de esperarse, relaciones de equivalencia y relaciones de orden ocupan el lugar importante que les corresponde. Lo mismo para funciones: composición, funciones inyectivas, suprayectivas, biyectivas y sus propiedades elementales son tratadas con cuidado. Como las demostraciones son parte importante en el material del libro, las autoras tienen cuidado en discutir en ocasiones una demostración antes de darla; por ejemplo, si se requiere, mencionan que la demostración es indirecta, por contradicción, o por contrapositiva. Estos detalles solemos pasarlos por alto ya que suponemos que el estudiante los conoce, pero la experiencia nos enseña que este no suele ser el caso.
El penúltimo capítulo introduce la primera estructura numérica, los números naturales, mediante los axiomas de Peano. La discusión de la necesidad y del por qué de la forma de estos axiomas es cuidadosa, dando particular importancia al axioma de inducción. Las operaciones aritméticas de ${\mathbb N}$ se definen con cuidado, y sus propiedades usuales se demuestran también. Este capítulo sirve de muestra de cómo la herramienta conceptual desarrollada en los capítulos previos se usa en algo tan común y elemental como los números naturales. En particular, muestra cómo las propiedades aritméticas y de orden de ${\mathbb N}$ tienen que ser demostradas, aunque parezcan obvias.
El último capítulo es una introducción a los métodos elementales de conteo, desde la noción de cardinalidad (finita) hasta la formulación y demostración de los principios elementales de conteo, para después obtener las fórmulas usuales que cuentan ordenaciones o permutaciones, por ejemplo.
El rigor del tratamiento de temas, aparentemente elementales, como los discutidos en el libro que estamos reseñando, pone en la perspectiva correcta la necesidad y dificultad de la enseñanza de los mismos. Este libro, el primero de dos volúmenes, pone un ejemplo de cómo se pueden escribir textos que sirvan de acompañantes amables en el proceso de aprendizaje.
