Artículos panorámicos

El teorema de factorización topológico para aplicaciones algebraicas entre variedades algebraicas

Fotografía: Gabriela Artigas/IMUNAM
Xavier Gómez Mont
$\def\C{{\mathbb C}}$ $\def\QQ{{\mathbb Q}}$ $\def\RR{{\mathbb R}}$ $\def\ZZ{{\mathbb Z}}$() $\def\cE{{\cal E}}$

Los teoremas de factorización algebraicos

El objetivo fundamental de las matemáticas es encontrar y describir los patrones que subyacen y organizan las cosas y desarrollar un lenguaje con el que podamos comunicar estos patrones a otros.

El ejemplo fundacional del enfoque de descomponer objetos complejos a partir de objetos atómicos es el teorema fundamental de la aritmética o también conocido como el teorema de factorización de un número entero como producto de números primos:

$$n=p_1^{r_1}\cdots p_s^{r_s} \in \ZZ_+$$

El origen de este teorema se remonta al libro VII, proposiciones 30, 31 y 32 de los Elementos de Euclides (300 ac), y de una forma definitiva por Carl F. Gauss (1777-1855) en sus Disquitiones Arithmeticae en 1801. En este caso el universo son los números enteros y los átomos son los números primos.

El teorema fundamental del algebra ([dP], p. 24) puede ser enunciado como: Todo polinomio en una variable con coeficientes números complejos

$$p(z)=z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots +a_0 \in \C[z]\hskip 1cm a_j\in \C$$

recibe una expresión multiplicativa:

$$p(z) = (z-\alpha_1)^{r_1}\cdots (z-\alpha_s)^{r_s} \hskip 1cm \alpha_j\in \C.$$

Gauss lo enunció en 1799 y esbozó una demostración, que tenía un pequeño hueco que luego fue cubierto, y la primera demostración completa la dio Jean-Robert Argand en 1806. En este caso el universo son los polinomios en una variable con coeficientes complejos y los átomos son los monomios $(z-\alpha_j)$.

Para los anillos de polinomios en varias variables con coeficientes complejos: $$P(z_1,\ldots,z_n) = \sum_I a_I z^I\in\C[z_1,\cdots,z_n] \hskip 1cm, \hskip 1cm a_I\in \C, \ z^I=z_1^{i_1} \cdots z_n^{i_n}.$$

Gauss probó utilizando inducción y el lema de Gauss el teorema de factorización en el anillo de polinomios en varias variables con coeficientes complejos ([dP], p. 24): Hay una factorización única excepto por permutaciones: $$P(z_1,\ldots,z_n) = P_1(z_1,\ldots,z_n)^{r_1}\cdots P_s(z_1,\ldots,z_n)^{r_s} \in\C[z_1,\cdots,z_n] $$ donde los $P_j$ son polinomios irreducibles, en el sentido de que si aceptan una factorización $QR$ entonces alguno de los dos es una constante (una unidad en $\C[z_1,\cdots,z_n]$). En este caso el universo son los polinomios en varias variables con coeficientes números complejos y los átomos son los polinomios irreducibles en varias variables.

Richard Dedekind (1831-1916) se percató de que hay unos objetos matemáticos elusivos a primera vista, los llamó ideales, que aparecen ya en los anillos de polinomios en más de una variable, dado que en estos ya no tenemos un teorema de división de Euclides. Estos objetos son los subconjuntos del anillo de polinomios $\C[z_1,\cdots,z_n]$, que satisfacen las condiciones de ser:

1) cerrados bajo la suma,

2) cerrados bajo la multiplicación por elementos del anillo $\C[z_1,\cdots,z_n]$.

Utilizando el teorema de la base de David Hilbert (1862-1943) ([dP], p. 2), los ideales pueden ser representados por sus generadores, que son un número finito de polinomios:

$$(F_1,\ldots,F_t) :=\{\sum_{j=1}^t g_jF_j \ \ / \ g_j \in \C[z_1,\cdots,z_n]\}.$$

Cuando solo hay un generador, podemos identificar al generador con el ideal (como pasa en el caso de $\C[z]$). Uno de estos ideales $I$ es primo si satisface que dada $fg\in I$ implica que $f\in I$ o $g\in I$. Un ideal es primario si es un ideal primo con multiplicidades: Si $f \notin I$ pero $fg \in I$ entonces $g^n\in I$ para $n\geq1$. Tenemos un teorema de descomposición primaria de todo ideal en $\C[z_1,\cdots,z_n]$ ([dP], p. 26-29):

$$I = J_1 \cap \cdots \cap J_r.$$

En este caso el universo son los ideales en el anillo de polinomios en varias variables con coeficientes números complejos y los átomos son los ideales primarios, cada uno teniendo asociado un ideal primo $\sqrt {J_k}$.

Los teoremas de descomposición geométricos

René Descartes (1596-1650) nos enseñó que los polinomios tienen un cuerpo geométrico, dando nacimiento a la geometría analítica. Su idea original es que dado un polinomio en dos variables reales $f(x,y)$ define una curva en el plano:

$$V_\RR(f):=\{p\in \RR^2 \ / \ f(p)=0\}.$$

De lo anterior tenemos los ejemplos típicos: si $f(x,y) = ax +by +c$ tenemos una línea recta. Si $f(x,y)$ es un polinomio cuadrático, obtenemos una cónica (círculo, elipse, parábola, hipérbola o par de rectas), etcétera.

Extrapolando esta idea tenemos ([dP, p. 56): Si $I=(F_1,\ldots,F_r) \subset \C[z_1,\cdots,z_n]$ es el ideal generado por $F_1,\ldots,F_r$ entonces su cuerpo geométrico es

$$V (I):=\{p\in \C^n \ / \ F_1(p)=\ldots=F_r(p)=0\}.$$

La clase de subconjuntos de $\C^n$ que obtenemos de esta manera se denominan las variedades afines (sobre los complejos). Las variedades afines que obtenemos de ideales primos (primarios) se denominan irreducibles (primarias). El teorema de descomposición geométrica para variedades afines nos dice que toda variedad afín se expresa como la unión de un número finito de variedades afines primarias:

$$ V= V_1 \cup \ldots \cup V_r $$

y si nos olvidamos de las multiplicidades de las componentes, en una unión de variedades irreducibles. En este caso, el universo son todas las subvariedades afines del espacio $\C^n$ y los átomos son las subvariedades primarias.

El teorema de factorización para variedades afines es tan sólo la versión geométrica del teorema de factorización para ideales en el anillo de polinomios $\C[z_1,\cdots,z_n]$, y su demostración se sigue de la traducción entre el algebra conmutativa y la geometría algebraica.

Como los matemáticos somos muy organizados, nos gusta construir universos. El universo de las variedades afines sobre los números complejos está formado por objetos, que son las variedades afines y los morfismos entre estas variedades afines $\varphi:X\longrightarrow Y$:

$$X:=V(f_1(z),\ldots,f_r(z)) \subset \C^n \ , \ Y:=V(g_1(w),\ldots,g_s(w)) \subset \C^m$$ $$\varphi(z):=(\varphi_1(z),\ldots,\varphi_m(z)):\C^n\longrightarrow \C^m\ \ , \ \ w=\varphi(z)\ \ , \ \ \varphi(X)\subset Y $$ $$f_1, \ldots, f_r, \varphi_1,\ldots \varphi_m \in \C[z_1,\cdots,z_n] \ \ ,\ \ g_1,\ldots,g_s \in \C[w_1,\cdots,w_m].$$ Para distinguir el universo físico en el que vivimos y estamos inmersos de estos universos matemáticos utilizamos la palabra categoría. Esta es la categoría de las variedades afines (sobre los números complejos). En esta categoría dos objetos $X,Y$son equivalentes si hay morfismos $$\varphi:X \longrightarrow Y \ \ , \ \ \psi:Y \longrightarrow X\ \ \hbox{con}\ \ \psi\circ \varphi = id|_X \ \ , \ \varphi\circ \psi = id|_Y. $$

Podemos entonces concluir que en la categoria de variedades afines vale el teorema de descomposición en variedades primarias.

Ya estando en la geometría, podemos compactificar los objetos geométricos afines ([Sh]). Lo primero es darse cuenta de que el espacio $\C^n$ puede ser compactificado en el espacio proyectivo complejo $\C P^n$ al ponerle un hiperplano proyectivo complejo $\C P^{n-1}$ al infinito de dimensión $n-1$. El ejemplo más sencillo, es la compactificación del plano complejo $\C$ en la esfera de Riemann al ponerle el punto al infinito.

La manera más sencilla de manipular los espacios proyectivos es considerarlos como el conjunto de rectas en $\C^{n+1}$ que pasan por $0$, o lo que es lo mismo en $\C^{n+1}-\{0\}$ identificamos dos puntos si son multiplos escalares uno del otro: $$p\simeq \lambda q, \ \ p,q \in \C^{n+1}-\{0\} \ \ , \ \ \lambda \in \C-\{0\}.$$ En el anillo de polinomios $\C[z_0,\cdots,z_n]$ los ideales homogéneos son aquellos cuyos generadores son polinomios homogéneos en las variables $z_0,\ldots, z_n$, i. e. $$P(z_0,\ldots,z_n) = \sum_{|I|=d} a_I z^I\in\C[z_0,\cdots,z_n] $$ y el cuerpo geométrico de uno de estos ideales $I=(F_1,\ldots,F_r)$ es

$$V (I):=\{p\in \C P^n \ / \ F_1(p)=\ldots=F_r(p)=0\}.$$

Estas son las variedades proyectivas. Una variedad proyectiva $V(I)$ es primaria o irreducible si el ideal homogéneo que la define es primaria o irreducible. Obtenemos así mismo el teorema de descomposición geométrico para variedades proyectivas que dice que toda variedad proyectiva es la unión de un número finito de variedades proyectivas primarias (donde las variedades proyectivas primarias son variedades proyectivas irreducibles con multiplicidades o sea, con una estructura de esquema). En este caso el universo son todas las subvariedades proyectivas del espacio proyectivo $\C P^n$ y los átomos son las subvariedades proyectivas primarias.

Los morfismos entre variedades proyectivas $\varphi:X\longrightarrow Y$ se obtienen de restringir aplicaciones: $$X:=V(f_1(z),\ldots,f_r(z)) \subset \C P^n \ , \ Y:=V(g_1(w),\ldots,g_s(w)) \subset \C P^m$$ $$\varphi(z):=(\varphi_0(z):\ldots:\varphi_m(z)):\C P^n - V(\varphi_0,\cdots, \varphi_m) \longrightarrow \C P^m\ \ , \ \ w=\varphi(z)\ \ , \ \ \varphi(X)\subset Y $$ $$f_1, \ldots, f_r, \varphi_1,\ldots \varphi_m \in \C[z_1,\cdots,z_n] \ \ g_1,\ldots,g_s \in \C[w_1,\cdots,w_m]\ \ \hbox{homogéneos}$$ con $V(\varphi_0,\cdots, \varphi_m)\cap X = \emptyset$ y los $\varphi_j$ son polinomios homogéneos del mismo grado.

Formamos la categoría de variedades proyectivas (sobre los números complejos) donde los objetos son las variedades proyectivas y los morfismos son los morfismos proyectivos. En esta categoría tenemos definida la noción de equivalencia entre variedades proyectivas y vale un teorema de descomposición en variedades primarias.

La topología de las variedades proyectivas

Ahora entra la topología en la escena ([GH],[V]). Esto quiere decir que vamos a tomar un punto de vista más cualitativo. Por ejemplo, le vamos a asociar a cada variedad un objeto (un grupo o un espacio vectorial) y este objeto va a ser el mismo si dos variedades son topológicamente equivalente (por ejemplo un círculo y una elipse). La topología entra al introducir en las variedades proyectivas la topología inducida por la topología euclideana de $\C^n$ y de $\C P^n$. Las variedades proyectivas irreducibles $X$ tienen un subconjunto abierto y denso donde son no-singulares y una subvariedad proyectiva propia donde son singulares. Si este último es vacio, decimos que la variedad proyectiva es no-singular. Las variedades proyectivas irreducibles tienen una dimensión $\ell$, tal que todo punto no-singular tiene una vecindad homeomorfa a una bola en $\C^\ell$. Diremos que esta variedad tiene dimensión $\ell$, aunque como esta dimensión es sobre $\C$, realmente tiene dimensión $2\ell$ en el sentido usual.

El invariante topológico más importante asociado a un espacio topológico (localmente arcoconexo) $X$ son sus grupos de homología y cohomología [GH, p.23]). Las mas usuales son la homología y la cohomología singular, la cohomología de De'Rham, que son isomorfas en el caso de variedades no-singulares y la cohomología de intersección para variedades proyectivas singulares.

Recordemos sus definiciones. Consideremos el $k$-simplejo $\Delta_k:=\{(y_j)\in \RR^{k+1}_{\geq 0}\ / \ y_0+\cdots+y_k =1\}$ y las $k$-cadenas en X: $$C_k(X,\QQ):=\{\sum_j n_jc_j\ / \ c_j:\Delta_k \longrightarrow X\ \ \hbox{ continuas}\ ,\ n_j\in\QQ\}$$ con aplicaciones de frontera $$\partial(c_j):=\sum_{r=0}^k(-1)^jc_j|_{\Delta_{k-1}(y_0,\ldots, \hat{y_r},\ldots, y_k)}\ \ , \ \ \partial: C_k(X,\QQ) \longrightarrow C_{k-1}(X,\QQ)\ \ , \ \ \partial\circ\partial =0$$ (donde $\hat\ $ quiere decir que esa variable se elimina y por lo tanto cada sumando es un (k-1)-simplejo, parte de la frontera del $k$ simplejo $c_j$) y definiendo el $k$-ésimo grupo de homología de $X$ por la homología del complejo singular

$$ 0 \leftarrow C_0(X,\QQ) \overset{\partial}{\leftarrow}C_1(X,\QQ) \overset{\partial}{\leftarrow} \cdots \leftarrow C_k(X,\QQ) \overset{\partial}{\leftarrow}C_{k+1}(X,\QQ) \overset{\partial}{\leftarrow} \cdots $$

La ecuación fundamental de la topología algebraica es $$\partial c=0 \hskip 1cm, \hskip 1cm c\in C_{k}(X,\QQ) $$ para la $k$-cadena $c$, y las soluciones las llamamos $k$-ciclos. Geométricamente pensamos que $c$ está formada por la unión de sus $k$-simplejos $c_j$ con peso (pensemos en su imagen como la unión de varios $k$-triángulos en $X$), pero para que $\partial c=0$ se necesita que las fronteras $\partial c_j$ estén pegadas correctamente para que se cancelen. Por ejemplo, para $k=1$ el final de uno de los 1-simplejos es el inicio de otro, si $k=2$ obtenemos unos triángulos en $X$ pero están pegados correctamente para hacer una superficie sin frontera, etcétera. Hay unos $k$-ciclos que son triviales, porque son de la forma $\partial e$, para $e$ una $(k+1)$-cadena. Estos los llamamos fronteras. Así toda $k$-frontera es un $k$-ciclo. Los grupos de homología (que más bien en este caso son $\QQ$-espacios vectoriales) se definen por: $$H_k(X,\QQ) :=\frac{\{k-\hbox{ciclos}\}}{\{k-\hbox{fronteras}\}} = \frac{\{c\in C_k(X,\QQ)\ / \ \partial(c_k)=0\}}{\partial C_{k+1}(X,\QQ)}$$ son las $k$-cinturas que tiene $X$ y su dimensión nos da una medida de la complejidad de la topología de $X$.

En el caso de variedades diferenciales (sobre $\RR$) lisas y orientadas de dimensión $m$ tenemos las $k$-formas diferenciales $\eta$ ([Sp], p.79) que podemos integrar ($\int_c \eta$) sobre las $k$-cadenas $c$ y las podemos diferenciar $d\eta$ para obtener una $k+1$ forma diferencial ([Sp], p. 84). De nuevo tenemos la relación $d\circ d =0$. Decimos que la $k$-forma $\eta$ es cerrada si $d\eta=0$ y que es exacta si $\eta=d\sigma$ para una $(k-1)$-forma. Así, toda forma exacta es cerrada. Podemos formar el complejo de De'Rham ([GH] p. 43):

$$ 0 \rightarrow \Omega^0(X)\overset{d}{\rightarrow} \Omega^1(X)\overset{d}{\rightarrow} \cdots \Omega^{m-1}(X)\overset{d}{\rightarrow} \Omega^m(X)\overset{d}{\rightarrow}0 $$ con sus grupos de cohomología de de'Rham: $$ H^k_{Dr}(X) := \frac{ \{\omega\in \Omega^k(X)\ / \ d\omega=0\}} {d\Omega^{k-1}(X)}.$$

El teorema fundamental del cálculo (teorema de Stokes) nos dice ([Sp], p. 113): $$\int_c d\omega = \int _{\partial c} \omega$$ y nos produce un apareamiento bien definido $$\int:H_k(X,\RR) \times H^k_{Dr}(X) \rightarrow \RR.$$ El teorema de De'Rham nos dice que éste es un apareamiento perfecto (i. e. si $\int_c\eta=0$ para toda $\eta$ cerrada con $c$ un ciclo, entonces $c$ es frontera; o si vale para todo ciclo $c$ y $\eta$ es cerrada, entonces $\eta$ es exacta). En particular, la dimensión de los grupos de homología (sobre $\QQ$) y de cohomología de De'Rham (sobre $\RR$) coinciden.

Las formas diferenciales las podemos multiplicar con el producto exterior y esto produce una estructura de álgebra (graduada) en $H^*_{Dr}(X);= \oplus_k H^k_{Dr}(X)$.

Un teorema verdaderamente notable es ([GH], p. 53):

Teorema de dualidad de Poincaré: Sea $X$ una variedad compacta orientable de dimensión $n$, entonces la función bilineal entre $k$ y $n-k$ formas diferenciales da origen a un apareamiento perfecto $$ H^k_{Dr}(X) \oplus H^{n-k}_{Dr}(X)\rightarrow \RR \hskip 5mm (\omega,\eta) \rightarrow \int_M \omega \wedge \eta$$ y en particular estos grupos de cohomología tienen la misma dimensión.

En el caso de las variedades proyectivas no-singulares de dimensión (compleja) $n$, estas son variedades diferenciales compactas orientadas de dimensión $2n$ y podemos aplicar todo esto, sólo que las diferenciales las hacemos con valores complejos para dar el apareamiento no-degenerado $$\int:H_k(X,\QQ) \times H^k_{Dr}(X,\C) \rightarrow \C.$$ Aparte de la dualidad de Poincaré, las variedades proyectivas no-singulares $X$ tienen una serie de propiedades maravillosas. Denotemos por $c_1\in H^2_{Dr}(X,\C)$ la clase de cohomología que corresponde al hiperplano del espacio proyectivo.

Teorema duro de Lefschetz: (GH, p.122) Sea $X$ una variedad proyectiva no-singular de dimensión $n$, entonces para todo $k=0,\ldots,n$ tenemos que el producto cup $$c_1^k:H^{n-k}_{Dr}(X,\C)\rightarrow H^{n+k}_{Dr}(X,\C) \hskip 15mm \eta \rightarrow c_1^k\wedge\eta $$ es un isomorfismo.

Este teorema nos da un isomorfismo explícito, mientras que el de Poincaré sólo da una dualidad.

Teorema de descomposición de Hodge: ([GH], p. 116) Sea $X$ una variedad proyectiva no-singular, entonces para $k=0,\ldots,2n$ existe una descomposición canónica $$H^{k}_{Dr}(X,\C) = \oplus_{p+q=k} H^{p,q} \hskip 1cm \bar{H}^{p,q}= H^{q,p}.$$ Si $\psi:X\longrightarrow Y$ es una aplicación proyectiva entre variedades proyectivas lisas entonces el morfismo inducido en cohomología $\psi^*:H^{k}_{Dr}(Y,\C)\rightarrow H^{k}_{Dr}(X,\C)$ preserva la descomposición de Hodge, i. e. $\psi^*:H^{p,q} (Y)\rightarrow H^{p,q}(X)$.
Teorema de positividad de Riemann-Hodge: ([V], p. 152) Sea $X$ una variedad proyectiva no-singular, $\omega\in H^{2}_{Dr}(X,\C)$ la clase del hiperplano, entonces para $k=0,\ldots, n$ la forma Hermitiana en $H^{n-k}_{Dr}(X,\C)$ definida por $$(\eta,\sigma) \rightarrow (-1)^{k(k-1)/2}(-i)^{p-q-k}\int_M \omega^k\wedge \eta\wedge \bar \sigma$$ es no-degenerada (y es positiva definida en $H^{p,q}_{prim}$, en su descomposición de Hodge-Lefschetz de formas primitivas).

Estos teoremas están en la base de las demostraciones del teorema de factorización topológico que queremos explicar.

La topología de los morfismos propios submersivos

Sea $\varphi: X \rightarrow Y$ un morfismo entre variedades proyectivas conexas submersiva, i. e. tal que el mapeo derivado entre espacios tangentes $D\varphi: TX \rightarrow TY$ es suprayectivo en cada punto. Entonces, el teorema de la función implícita y el teorema de fibración de Ehresmann ([V], p.220) implican que todas las fibras de $\varphi$ son diferenciablemente equivalentes y que sobre $U \subset Y$ una pequeña bola tenemos que $\varphi^{-1}(U)$ es diferenciablemente $U\times \varphi^{-1}(y_0)$.

Entonces vamos a colocar encima de $U$ en vez del geométrico $\varphi^{-1}(U)\simeq_{dif}U\times \varphi^{-1}(y_0)$ a su versión cohomológica $${\cal{E}}_U:=U \times H^*(\varphi^{-1}(y_0),\C).$$ Si $V$ es otra pequeña bola en $V$, la función de transición de ${\cal{E}}_U$ a ${\cal{E}}_V$ sobre $U\cap V$ es de la forma $id\times \rho$, con $\rho$ un automorfismo de $H^*(\varphi^{-1}(y_0),\C)$ y por consiguiente ${\cal{E}}$ tiene una estructura de fibrado vectorial sobre $Y$ plano, es decir, tiene una conexión que induce isomorfismos canónicos de una fibra sobre la otra y la estructura de las secciones constantes nos dice cómo se pega al pasar de $U$ a $V$ sobre $U\cap V$. El fibrado vectorial ${\cal{E}}$ con su conexión plana da origen a una representación de holonomía $$\rho:\pi_1(Y,y_0) \rightarrow Aut(H^*(\varphi^{-1}(y_0),\C))$$ al levantar caminos usando la conexión plana. Otro teorema fundamental de los morfismos proyectivos submersivos es:

Teorema de semisimplicidad de Deligne: ([D]) La representación de holonomía $\rho$ es semisimple, es decir, hay una descomposición $${\cal{E}}\simeq {\cal{E }}_1\oplus \cdots \oplus {\cal{E}}_r $$ $\rho$ invariante y la monodromía de cada factor es una representación simple.

Por fin hemos llegado a toparnos con los objetos que deseamos y con los cuales construiremos nuestro nuevo universo. Así como en el teorema fundamental de la aritmética el universo eran los números naturales y los números primos son los átomos, en el nuevo contexto que queremos definir, ${\cal{E}}$ es uno de los objetos de este universo y ${\cal{E }}_j$ es uno de los elementos primos. Entonces, estos objetos constan de una base $Y$, una variedad proyectiva no-singular donde están soportados, y luego el objeto mismo va a ser un tipo de gavilla (sheaf) sobre $Y$, que en este caso particular es un fibrado vectorial con una conexión plana con monodromía semisimple (o simple en el caso de los elementos primos). En general, serán objeto de este tipo y el teorema que buscamos nos dirá que se pueden factorizar como suma directa de elementos primitivos.

La topología de los morfismos propios

Ahora consideremos un morfismo proyectivo $\varphi: X \rightarrow Y$ entre variedades proyectivas no-singulares (sobre los números complejos) con $\varphi(X)=Y$. Entonces la derivada $D\varphi: TX \rightarrow TY$ tiene rango genérico $dim Y$. Sea $Z\subset Y$ la variedad proyectiva donde el rango es estrictamente menor que $dim Y$ (el conjunto de los puntos singulares de $\varphi$). Este es el conjunto de puntos donde no podemos aplicar el teorema de la función implícita. Si $Z=\emptyset$ estamos en el caso de la sección anterior. Sea $W=\varphi(Z)$, la subvariedad proyectiva de los valores singulares. El teorema de Sard (o de Bertini)([Sp], [Sh]) nos garantiza que $W$ es una subvariedad propia de $Y$ (i. e. $W \neq Y$). La restricción $$\varphi: X-\varphi^{-1}(W) \rightarrow Y-W$$ es una aplicación propia entre variedades lisas submersiva y por consiguiente, como en la sección anterior, nos representa a $X-\varphi^{-1}(Y-W)$ como un fibrado diferencial localmente trivial sobre $Y-W$. Entonces podemos construir, como antes, sobre $Y-W$ un fibrado vectorial ${\cal{E}}^\prime$, que tiene como fibra $H^*(\varphi^{-1}(y_0),\C)$, con $y_0\in Y-W$, poseyendo una conexión plana y una representación de holonomía $$\pi_1(Y-W,y_0) \rightarrow Aut(H^*(\varphi^{-1}(y_0),\C)).$$ que de nuevo por el teorema de Deligne ([D]) es semisimple.

El punto delicado es que este objeto ${\cal{E}}^\prime$ está soportado sobre $Y-W$ y lo queremos extender a $Y$, con todo y la conexión. Tenemos que definir un objeto matemático $IC({\cal{E}}^\prime)$ sobre $Y$ que extiende a ${\cal{E}}^\prime$ de $Y-W$ a $Y$ que contiene la información asintótica de la topología de las fibras no-singulares al acercarse a los valores singulares $W$. Esta extensión se llama la cohomología de intersección de ${\cal{E}}^\prime$', y va a ser un objeto de una categoría (la categoría de gavillas perversas sobre $Y$) ([Ba], p.157).

Organizando: primero fijamos la base $Y$, una variedad proyectiva no-singular. Lo que queremos es definir una categoría donde vivan todas las $IC({\cal{E}}^\prime)$ para todo morfismo proyectivo $\varphi:X \rightarrow Y$. Pero esta categoría debe ser lo más pequeña posible y tiene que tener la propiedad de factorización que deseamos. Además debe ser functorial en $Y$, i. e. que se comporte bien con cambios de base $Y^\prime \rightarrow Y$.

La categoría de las gavillas perversas

Vamos a definir varias categorías asociadas a cada variedad proyectiva lisa $Y$, que van a formar los universos donde van a habitar los objetos que aparecieron en las secciones anteriores. Las primeras son muy grandes, pero tendrán propiedades maravillosas. Luego vamos a ir haciendo equivalencias entre sus objetos, luego restricciones, hasta que podamos esculpir la categoría deseada (como Miguel Ángel, esculpir de un gran pedazo de mármol un David, que no tan sólo representa a un joven con una resortera, sino toda esa fuerza de voluntad en nuestros superhéroes de vencer obstáculos insuperables).

Por supuesto que no voy a poder hacer todo esto en los renglones que me quedan por escribir. Pero al menos déjenme indicarles un poco las ideas.

Uno inicia definiendo la categoria de las gavillas sobre $Y$. Una gavilla es un objeto que a todo subconjunto abierto de $Y$ le asocia un grupo (por ejemplo el grupo de sus funciones continuas, diferenciable, etcétera). Estas gavillas forman una categoría con muchas propiedades (es abeliana). Vamos a ampliarla a la categoria de complejos de gavillas acotadas sobre $Y$. Es decir, son varias gavillas con morfismos tal que la composición de dos consecutivos es 0. Como ejemplos podemos mencionar el complejo de cadenas que define la homología simplicial y el complejo de De'Rham que define la cohomología de De'Rham, ambas descritas en la sección 3. Esta también es una categoría Abeliana.

Ahora vamos a realizar unas identificaciones de los objetos de la categoría de complejos de gavillas sobre $Y$. Vamos a decir que dos complejos son equivalentes si son homotópicos y si son casi-isomorfos. La categoría así obtenida, se denomina la categría derivada $Der(Y)$, la cual ya no es Abeliana, pero es triangulada, sigue teniendo grupos de cohomología, sucesiones largas de cohomología y satisface un teorema de dualidad (dualidad de Verdier).

Después construimos sobre $Y$ la subcategoría de $Der(Y)$ formada por complejos cuyas gavillas de cohomología sean gavillas constructibles. Un objeto de esta categoría consiste de:

1) Una partición de $Y$ en un conjunto finito de subvariedades casiproyectivas no-singulares disjuntas $\{Y_j\}$,

2) Sobre cada $Y_j$ tenemos un fibrado vectorial ${{\cal{E}}_j}$ con una conexión plana con aplicación de monodromía $\rho_j:\pi_1(Y,y_0) \rightarrow Aut({\cal{E}}_{j,y_0})$ semisimple.

Si $K$ es un complejo con gavillas de cohomología constructible, sólo un número finito de sus gavillas de cohomología son no-cero y para cada $i$ el soporte de ${\cal H}^i(K)$, el conjunto de puntos donde la fibra es no-cero, es una subvariedad proyectiva.

Una gavilla perversa $P$ en $Y$ es un complejo acotado de gavillas con gavillas de cohomología constructibles en $Der(Y)$ que satisface para $K=P$ y para su dual $P^*$:

$$dim_{_\C} soporte {\cal H}^i(K) \leq i\ , \hskip 1cm \forall i \in Z.$$

Las categorías de gavillas perversas son categoría abelianas, artinianas, tienen la propiedad de factorización en primos y son estable bajo dualidad de Verdier. Estas categorías son objetos matemáticos fundamentales en el cruce de la geometría algebraica, la topología, el análisis y las ecuaciones diferenciales. Juegan también un papel importante en la teoría de números, el álgebra y la teoría de representaciones. La palabra pervesa se utiliza por no ser transversa (a una estratificación de un espacio singular).

Un resultado fundamental es:

Teorema de extensión: Dada una subvariedad proyectiva irreducible $Z$ de $Y$ y un un fibrado ${\cal{E}}^\prime$ sobre $Z^\prime$, $Z^\prime$ un subconjunto abierto de Zarizki de $Z$ que sea una subvariedad lisa, ${\cal{E}}^\prime$ con una conexión plana con monodromía semi-simple, entonces el complejo de intersección $IC({\cal{E}}^\prime)$ es una extensión de ${\cal{E}}^\prime$ a $Z$ que es una gavilla perversa en $Y$.

Los complejos de intersección $\cE$ así obtenidos son elementos del universo que buscamos. A estos objetos, les podemos construir un complejo como hicimos para la cohomología singular, y sus grupos de cohomología se denominan la cohomología de intersección $IH^*(Y,\cE)$.

El teorema de factorización topológico para las aplicaciones proyectivas entre variedades proyectivas

El climax de todo esto es:

Teorema de factorización topológico para aplicaciones proyectivas: Sean $X$ y $Y$ variedades proyectivas lisas y $\varphi:X\rightarrow Y$ un morfismo proyectivo. Entonces existen un número finito de tripletas $(X_\alpha,Y_\alpha,d_\alpha)$ formadas de subvariedades algebraicas localmente cerradas, lisas e irreducibles $Y_\alpha \subset Y$, sistemas locales semisimples $L_\alpha$ on $Y_\alpha$ y números enteros $d_\alpha$ tal que para todo conjunto abierto $U\subset Y$ hay un isomorfismo $$H^r(\varphi^{-1}(U),\QQ) \simeq \oplus_\alpha IH^{r-d_\alpha}(U\cap\bar{Y_\alpha},L_\alpha). $$

Para este teorema tenemos tres demostraciones:

1) La original, que se debe a Alexander Beilinson, Joseph Bernstein, Pierre Deligne y Ofer Gabber ([BBDG]) que es para variedades sobre un campo arbitrario y por cohomología entendemos una aritmética: la cohomología cristalina.

2) La demostración de Morihiko Saito ([S]) que es sobre los números complejos y utiliza los $D$-módulos del análisis.

3) La demostración de Mark de Cataldo y Luca Miglorini ([DM1]) que también es sobre los números complejos y utiliza la teoría de Hodge, que es una precisión del enfoque clásico de Solomon Lefschetz sobre la topología de las variedades algebraicas.

De hecho el teorema es mucho más general de lo que aquí enuncié. Por ejemplo, $X$ y $Y$ pueden ser singulares, no necesitan ser proyectivas, basta con que sean casi-proyectivas, etcetera.

Quisiera terminar con mi cita favorita. Alexander Grothendieck, un matemático excepcionalmente profundo del nivel de Gauss y de Poincaré de la segunda mitad del siglo XX nos dejó como epitafio: La creatividad en Matemáticas es esa fuerza de concentración que nos permite escuchar lo que la cosa nos quiere decir .

La cosa que intenté presentarte, el teorema de factorización topológico para aplicaciones algebraicas, no se descifra a la primera, su naturaleza es elusiva. Pero quiere comunicarse contigo. Tendrás fuerza de concentración para escuchar el secreto que te quiere susurrar? La escuchas? Concéntrate, escúchala, prepárate... Es una preciosa parte del paraíso que se nos abre por la curiosidad que nos caracteriza...

Referencias

[Ba] Markus Banagl. Topological Invariants of Stratified Spaces, Springer Monographs in Math., 2007
[BBDG] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, O. Gabber. Faisceaux Perverse, Asterisque 100, 1982 (second edition (2018)
[DM1] Mark de Cataldo, Luca Migliorini. The Decomposition Theorem, Perverse Sheaves and the Topology of Algebraic Maps, Bull. AMS, 46, 535-633, 2009
[DM2] Mark de Cataldo, Luca Migliorini. What is a Perverse Sheaf?, Arxiv: 1004.2983
[D] Pierre Deligne Theorie de Hodge II, III, Publ. Math IHES, 40, 5-57, y 44, 5-77

[dP] Theo de Jong, Gerhard Pfister. Local Analytic Geometry, Advanced Lec. in Math., Vieweg, 2000
[GH] Philip Griffiths, Joseph Harris. Principles of Algebraic Geometry, J. Wiley, 1978

[S] Morihiko Saito Modules de Hodge Polarizables, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 24, (1988) 849-995 (1989).
[Sp] Michael Spivak. Cálculo en Variedades, Reverte, 1988
[Sh] Igor Shafarevic. Basic Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1977
[V] Claire Voisin, Hodge. Theory and Complex Algebraic Geometry, Cambridge, 2002
Xavier Gómez Mont
Centro de Investigación en Matemáticas, Guanajuato
Motivos Matemáticos es una publicación electrónica del Instituto de Matemáticas, UNAM
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